Прямі називаються перехресними, якщо вони не перетинаються і не є паралельними. Це поняття просторової геометрії. Поставлена задача вирішується методами аналітичної геометрії шляхом знаходження відстані між прямими. При цьому обчислюється довжина взаємного для двох прямих перпендикуляра.
Інструкція
- Приступаючи до вирішення цього завдання, слід переконатися, що прямі дійсно мимобіжні. Для цього використовуйте такі відомості. Дві прямі в просторі можуть бути паралельними (тоді їх можна розмістити в одній площині), пересічними (лежать в одній площині) і перехресними (не лежать в одній площині).
-
Нехай прямі L1 і L2 задані параметричними рівняннями (див. рис. 1а). Тут τ — параметр в системі рівнянь прямої L2. Якщо прямі перетинаються, то у них є одна точка перетину, координати якої досягаються в системах рівнянь малюнка 1а при певних значеннях параметрів t та τ. Таким чином, якщо система рівнянь (див. рис. 1b) щодо невідомих t і τ має рішення, причому єдине, то прямі L1 і L2 перетинаються. Якщо ця система не має розв’язку, то прямі є перехресними або паралельними. Тоді для прийняття рішення порівняйте напрямні вектори прямих s1 = {m1, n1, p1} і s2 = {m2, n2, p2} Якщо прямі мимобіжні, то ці вектори не колінеарні та їх координати {m1, n1, p1} і {m2, n2, p2} не можуть бути пропорційними.
-
Після перевірки приступайте до вирішення завдання. Її ілюстрація — малюнок 2. Потрібно знайти відстань d між перехресними прямими. Додайте прямі в паралельних площинах β і α. Тоді шукане відстань дорівнює довжині спільного перпендикуляра до цих площинах. Нормаль N до площин β і α має напрямок цього перпендикуляра. Візьміть на кожній прямої по точці M1 і М2. Відстань d дорівнює абсолютній величині проекції вектора M2M1 на напрям N. Для направляючих векторів прямих L1 і L2 при цьому справедливо, що s1 | | β, а s2 | | α. Тому вектор N шукаєте як векторний добуток [s1, s2]. Тепер згадайте правила перебування векторного твори та обчислення довжини проекції в координатній формі і можете приступати до вирішення конкретних завдань. При цьому дотримуйтеся наступного плану.
- Умова задачі починається завданням рівнянь прямих. Як правило, це канонічні рівняння (якщо ні — приведіть їх до канонічного виду). L1: (x-x1) / m1 = (y-y1) / n1 = (z-z1) / p1; L2: (x-x2) / m2 = (y-y2) / n2 = (z-z2) / p2.
Візьміть М1 (x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2) і знайдіть вектор M2M1 = {x1-x2, y1-y2, z1-z2}. Запишіть вектори s1 = {m1, n1, p1}, s2 = {m2, n2, p2}. Нормаль N знайдіть як векторний твір s1 і s2, N = [s1, s2]. Отримавши N = {A, B, C}, шукане відстань d знайдіть як абсолютну величину проекції вектора M2M1 на напрям N.
d = | Пр (N) M2M1 = (A (x1-x2) + B (y1-y2) + C (z1-z2)) / √ (A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2).
