Як знайти відстань від точки до прямої в просторі


 

В аналітичній геометрії положення безлічі точок, що належать прямої лінії в просторі, описується рівнянням. Для будь-якої точки простору щодо цієї лінії можна визначити параметр, який називається відхиленням. Якщо він дорівнює нулю, отже, точка лежить на лінії, а будь-яке інше значення відхилення, взяте по модулю, визначає найкоротша відстань між прямою і точкою. Розрахувати його можна, якщо відомо рівняння лінії і координати точки.



Інструкція

  1. Для вирішення завдання в загальному вигляді позначте координати точки як A ₁ (X ₁; Y ₁; Z ₁), координати найближчої до неї точки на розглянутій прямій — як A ₀ (X ₀; Y ₀; Z ₀), а рівняння прямої запишіть в такому вигляді: a * X + b * Y + c * Z — d = 0. Вам потрібно визначити довжину відрізка A ₁ A ₀, який лежить на лінії, перпендикулярній по відношенню до описуваної рівнянням. Перпендикулярний («нормальний») спрямовує вектор ā = {a; b; c} допоможе скласти канонічні рівняння проходить через точки A ₁ і A ₀ прямий: (X-X ₁) / a = (Y-Y ₁) / b = (Z-Z ₁) / c.
  2. Запишіть канонічні рівняння в параметричній формі (X = a * t + X ₁, Y = b * t + Y ₁ і Z = c * t + Z ₁) і знайдіть значення параметра t ₀, при якому вихідна і перпендикулярна до неї прямі перетинаються. Для цього підставте параметричні вираження в рівняння вихідної прямий: a * (a * t ₀ + X ₁) + b * (b * t ₀ + Y ₁) + c * (c * t ₀ + Z ₁) — d = 0. Потім висловіть з рівності параметр t ₀: t ₀ = (d — a * X ₁ — b * Y ₁ — c * Z ₁) / (a ​​² + b ² + c ²).
  3. Підставте отримане на попередньому кроці значення t ₀ в визначають координати точки A ₁ параметричні рівняння: X ₀ = a * t ₀ + X ₁ = a * ((d — a * X ₁ — b * Y ₁ — c * Z ₁) / (a ​​² + b ² + c ²)) + X ₁, Y ₀ = b * t ₀ + Y ₁ = b * ((d — a * X ₁ — b * Y ₁ — c * Z ₁) / (a ​​² + b ² + c ²)) + Y ₁ і Z ₀ = c * t ₀ + Z ₁ = c * ((d — a * X ₁ — b * Y ₁ — c * Z ₁) / (a ​​² + b ² + c ²)) + Z ₁. Тепер у вас є координати двох точок, залишилося розрахувати визначається ними відстань (L).
  4. Для отримання чисельного значення відстані між точкою з відомими координатами і прямої, що задається відомим рівнянням, розрахуйте чисельні значення координат точки A ₀ (X ₀; Y ₀; Z ₀) за формулами з попереднього кроку і підставте значення в цю формулу:
    L = (a * (X ₁ — X ₀) + b * (Y ₁ — Y ₀) + c * (Z ₁ — Z ₀)) / (a ​​² + b ² + c ²)

    Якщо ж і результат треба отримати в загальному вигляді, він буде описуватися досить громіздким рівнянням. Замініть величини проекцій точки A ₀ на три координатні осі равенствами з попереднього кроку і спростіть наскільки можливо отримане рівність:
    L = (a * (X ₁ — X ₀) + b * (Y ₁ — Y ₀) + c * (Z ₁ — Z ₀)) / (a ​​² + b ² + c ²) = (a * (X ₁ — a * ((d — a * X ₁ — b * Y ₁ — c * Z ₁) / (a ​​² + b ² + c ²)) + X ₁) + b * (Y ₁ — b * ((d — a * X ₁ — b * Y ₁ — c * Z ₁) / (a ​​² + b ² + c ²)) + Y ₁) + c * (Z ₁ — c * ((d — a * X ₁ — b * Y ₁ — c * Z ₁) / (a ​​² + b ² + c ²)) + Z ₁)) / (a ​​² + b ² + c ²) = (a * (2 * X ₁ — a * ((d — a * X ₁ — b * Y ₁ — c * Z ₁) / (a ​​² + b ² + c ²))) + b * (2 * Y ₁ — b * ((d — a * X ₁ — b * Y ₁ — c * Z ₁) / (a ​​² + b ² + c ²))) + c * (2 * Z ₁ — c * ((d — a * X ₁ — b * Y ₁ — c * Z ₁) / (a ​​² + b ² + c ²)))) / (a ​​² + b ² + c ²) = (2 * a * X ₁ — a ² * ((d — a * X ₁ — b * Y ₁ — c * Z ₁) / (a ​​² + b ² + c ²)) + 2 * b * Y ₁ — b ² * ((d — a * X ₁ — b * Y ₁ — c * Z ₁) / (a ​​² + b ² + c ²)) + 2 * c * Z ₁ — c ² * ( (d — a * X ₁ — b * Y ₁ — c * Z ₁) / (a ​​² + b ² + c ²))) / (a ​​² + b ² + c ²)
      


  5. Якщо значення має тільки чисельний результат, а хід розв’язання задачі не важливий, скористайтеся онлайн-калькулятором, який призначений саме для розрахунку відстані між точкою і прямою в ортогональної системі координат тривимірного простору —