Як знайти висоту і медіану в трикутнику


 

Трикутник — одна з найпростіших класичних фігур в математиці, приватний випадок багатокутника з числом сторін і вершин, що дорівнює трьом. Відповідно, висот і медіан у трикутника теж по три, а знайти їх можна по відомим формулам, виходячи з початкових даних конкретного завдання.


Інструкція

  1. Заввишки трикутника називається перпендикулярний відрізок, проведений з будь-якої вершини на протилежну їй сторону (підстава). Медіана трикутника — це відрізок, який з’єднує одну з вершин з серединою протилежної сторони. Висота і медіана з однієї і тієї ж вершини можуть збігатися в разі якщо трикутник рівнобедрений, а вершина з’єднує його рівні сторони.
  2. Завдання 1

    Знайти висоту BH і медіану BM довільного трикутника ABC, якщо відомо, що відрізок BH ділить підставу AC на відрізки з довжинами 4 і 5 см, а кут ACB дорівнює 30 °.

  3. Рішення

    Формула медіани в довільному трикутнику є вираз її довжини через довжини сторін фігури. З початкових даних ви знаєте тільки одну сторону AC, яка дорівнює сумі відрізків AH і HC, тобто 4 +5 = 9. Отже, доцільно буде спочатку знайти висоту, потім через неї висловити відсутні довжини сторін AB і BC, а потім обчислити медіану.

  4. Розгляньте трикутник BHC — він прямокутний, виходячи з визначення висоти. Вам відомий кут і довжина одного боку, цього достатньо для того, щоб знайти сторону BH через тригонометричну формулу, а саме:

    BH = HC • tg BCH = 5 / √ 3 ≈ 2,89.

  5. Ви отримали висоту трикутника ABC. За тим же принципом визначте довжину сторони BC:

    BC = HC / cos BCH = 10 / √ 3 = 5,77.

    Цей результат можна перевірити по теоремі Піфагора, згідно з якою квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів:

    AC ² = AB ² + BC ² → BC = √ (25/3 + 25) = 10 / √ 3.

  6. Знайдіть залишилася третю сторону AB через розгляд прямокутного трикутника ABH. По теоремі Піфагора AB = √ (25/3 + 16) = √ (73/3) ≈ 4,93.
  7. Запишіть формулу для визначення медіани трикутника:

    BM = 1/2 • √ (2 • (AB ² + BC ²) — AC ²) = 1/2 • √ (2 • (24,3 + 33,29) — 81) ≈ 2,92.

    Оформіть відповідь задачі: висота трикутника BH = 2,89; медіана BM = 2,92.