Як знайти висоту трикутника, якщо дано координати точок


 

Заввишки в трикутнику називають відрізок прямої лінії, що з’єднує вершину фігури з противолежащей стороною. Цей відрізок обов’язково повинен бути перпендикулярний стороні, тому з кожної вершини можна провести лише одну висоту. Оскільки вершин у цій фігурі три, висот в ньому стільки ж. Якщо трикутник заданий координатами своїх вершин, обчислення довжини кожної з висот можна зробити, наприклад, скориставшись формулою знаходження площі і розрахувавши довжини сторін.


Інструкція

  1. Виходите в розрахунках з того, що площа трикутника дорівнює половині твори довжини будь-який з його сторін на довжину висоти, опущеної на цю сторону. З цього визначення випливає, що для знаходження висоти потрібно знати площу фігури і довжину сторони.
  2. Почніть з обчислення довжин сторін трикутника. Позначте координати вершин фігури так: A (X ₁, Y ₁, Z ₁), B (X ₂, Y ₂, Z ₂) і C (X ₃, Y ₃, Z ₃). Тоді довжину сторони AB ви зможете розрахувати за формулою AB = √ ((X ₁-X ₂) ² + (Y ₁-Y ₂) ² + (Z ₁-Z ₂) ²). Для двох інших сторін ці формули будуть виглядати так: BC = √ ((X ₂-X ₃) ² + (Y ₂-Y ₃) ² + (Z ₂-Z ₃) ²) і AC = √ ((X ₁-X ₃) ² + (Y ₁ — Y ₃) ² + (Z ₁-Z ₃) ²). Наприклад, для трикутника з координатами A (3,5,7), B (16,14,19) і C (1,2,13) ​​довжина сторони AB складе √ ((3-16) ² + (5-14) ² + (7-19) ²) = √ (-13 ² + (-9 ²) + (-12 ²)) = √ (169 + 81 + 144) = √ 394 ≈ 19,85. Довжини сторін BC і AC, розраховані таким же способом, будуть рівні √ (15 ² + 12 ² + 6 ²) = √ 405 ≈ 20,12 і √ (2 ² + 3 ² + (-6 ²)) = √ 49 = 7.
  3. Знання довжин трьох сторін, отриманих на попередньому кроці, достатньо для обчислення площі трикутника (S) за формулою Герона: S = ¼ * √ ((AB + BC + CA) * (BC + CA-AB) * (AB + CA-BC ) * (AB + BC-CA)). Наприклад, після підстановки в цю формулу значень, отриманих з координат трикутника-зразка з попереднього кроку, ця формула дасть таке значення: S = ¼ * √ ((19,85 +20,12 +7) * (20,12 +7- 19,85) * (19,85 +7-20,12) * (19,85 +20,12-7)) = ¼ * √ (46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97) ≈ ¼ * √ 75768,55 ≈ ¼ * 275,26 = 68,815.
  4. Виходячи з площі трикутника, розрахованої на попередньому кроці, і довжин сторін, отриманих на другому кроці, обчисліть висоти для кожної із сторін. Так як площа дорівнює половині твори висоти на довжину сторони, до якої вона проведена, для знаходження висоти ділите подвоєну площу на довжину потрібної сторони: H = 2 * S / a. Для використаного вище прикладу висота, опущена на сторону AB складе 2 * 68,815 / 16,09 ≈ 8,55, висота до сторони НД матиме довжину 2 * 68,815 / 20,12 ≈ 6,84, а для сторони АС ця величина буде дорівнює 2 * 68,815 / 7 ≈ 19,66.