Як знайти висоту в трапеції, якщо відомі всі сторони


 

Трапецією називається опуклий чотирикутник, у якого паралельні дві протилежні сторони і непаралельні дві інші. Якщо все протилежні сторони чотирикутника попарно паралельні, то це паралелограм.



Вам знадобиться

— всі сторони трапеції (AB, BC, CD, DA).

Інструкція

  1. Непаралельних боку трапеції називаються бічними сторонами, а паралельні — підставами. Лінія між основами, перпендикулярна до них — висота трапеції. Якщо бічні сторони трапеції рівні, то вона називається рівнобедреної. Спочатку розглянемо рішення для трапеції, яка не є рівнобедреної.
  2. Проведіть відрізок BE з точки B до нижнього основи AD паралельно бічній стороні трапеції CD. Оскільки BE і CD паралельні і проведені між паралельними основами трапеції BC і DA, то BCDE — паралелограм, і його супротивники BE і CD рівні. BE = CD.
  3. Розгляньте трикутник ABE. Обчисліть сторону AE. AE = AD-ED. Підстави трапеції BC і AD відомі, а в параллелограмме BCDE протилежні сторони ED і BC дорівнюють. ED = BC, значить, AE = AD-BC.
  4. Тепер дізнайтеся площа трикутника ABE за формулою Герона, обчисливши півпериметр. S = корінь (p * (p-AB) * (p-BE) * (p-AE)). У цій формулі p — півпериметр трикутника ABE. p = 1/2 * (AB + BE + AE). Для обчислення площі вам відомі всі необхідні дані: AB, BE = CD, AE = AD-BC.
  5. Далі запишіть площа трикутника ABE іншим способом — вона дорівнює половині твори висоти трикутника BH і сторони AE, до якої вона проведена. S = 1/2 * BH * AE.
  6. Висловіть з цієї формули висоту трикутника, яка є і висотою трапеції. BH = 2 * S / AE. Обчисліть її.

  7. рівнобедрений трапеція з двома проведеними висотами

                            Якщо трапеція рівнобедрена, рішення можна виконати по-іншому. Розгляньте трикутник ABH. Він прямокутний, тому що один з кутів, BHA, прямий.
  8. Проведіть з вершини C висоту CF.
  9. Вивчіть фігуру HBCF. HBCF прямокутник, оскільки дві його сторони — висоти, а інші дві є підставами трапеції, тобто кути прямі, а протилежні сторони паралельні. Це означає, що BC = HF.
  10. Подивіться на прямокутні трикутники ABH і FCD. Кути при висотах BHA і CFD прямі, а кути при бічних сторонах BAH і CDF рівні, так як трапеція ABCD рівнобедрена, значить, трикутники подібні. Так як висоти BH і CF рівні або бічні сторони рівнобедреної трапеції AB і CD рівні, то і подібні трикутники рівні. Значить, їх боку AH і FD теж рівні.
  11. Знайдіть AH. AH + FD = AD-HF. Так як з паралелограма HF = BC, а з трикутників AH = FD, то AH = (AD-BC) * 1/2.
  12. Далі з прямокутного трикутника ABH по теоремі Піфагора розрахуйте висоту BH. Квадрат гіпотенузи AB дорівнює сумі квадратів катетів AH і BH. BH = корінь (AB * AB-AH * AH).