Як знайти власні вектори і власні значення для матриць


 

При розгляді даного питання слід запам’ятати, що всі використовувані об’єкти — це вектори, причому n-мірні. При їх записи не використовуються ніякі відмітні ознаки, відповідні класичним векторах.



Інструкція


  1. Як знайти власні вектори і власні значення для матриць

                            Число k називають власним значенням (числом) матриці А, якщо існує вектор х такий, що

    Ax = kx. (1)

    При цьому вектор х називається власним вектором матриці А, відповідним числу k.
    У просторі R ^ n (див. рис.1) матриця А має вигляд як на малюнку.
        


  2. Необхідно поставити задачу знаходження власних чисел і векторів матриці А.
    Нехай власний вектор x задано координатами. У матричній формі він запишеться матрицею-стовпцем, який для зручності слід представити транспонованої рядком. X = (x1, x2, …, xn) ^ T.

    Виходячи з (1), Aх-kх = 0 або Aх-kEх = 0, де E — одинична матриця (одиниці розташовані на головне діагоналі, все інше елементи — нулі). Тоді

    (А-kE) х = 0. (2)
        



  3. Як знайти власні вектори і власні значення для матриць

                            Вираз (2) є системою лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь, яка має ненульове рішення (власний вектор). Тому головний визначник системи (2) дорівнює нулю, тобто

    | А-kE | = 0. (3)

    Останнє рівність щодо власного значення k називається характеристичним рівнянням матриці А і в розгорнутому вигляді має вигляд (див. рис.2).
        


  4. Це алгебраїчне рівняння n-го ступеня. Дійсні корені характеристичного рівняння є власними числами (значеннями) матриці А.
  5. Підставляючи корінь k характеристичного рівняння в систему (2), отримують однорідну систему лінійних рівнянь з виродженою матрицею (її визначник дорівнює нулю). Кожне ненульове рішення цієї системи є власний вектор матриці А, який відповідає цьому власному числу k (тобто корені характеристичного рівняння).

  6. Як знайти власні вектори і власні значення для матриць

                            Приклад. Знайти власні значення та вектори матриці А (див. рис 3).
    Рішення. Характеристичне рівняння представлено на рис. 3. Розкрийте визначник і знайдіть власні числа матриці, які є корінням даного рівняння (3-k) (-1-k) -5 = 0, (k-3) (k +1) -5 = 0, k ^ 2-2k- 8 = 0.
    Його коріння k1 = 4, k2 = -2
        
  7. а) Власні вектори, що відповідають k1 ​​= 4, знаходяться, через рішення системи (A-4kE) х = 0. При цьому потрібно всього одне її рівняння, так як визначник системи завідомо дорівнює нулю. Якщо покласти х = (x1, x2) ^ T, то перше рівняння системи (1-4) x1 + x2 = 0,-3×1 + x2 = 0. Якщо припустити, що х1 = 1 (тільки не нуль), то х2 = 3.

    Так як ненульових рішень у однорідної системи з виродженою матрицею як завгодно багато, то все безліч власних векторів, відповідних першому власному числу х = С1 (1, 3), C1 = const.
        


  8. б) Знайдіть власні вектори, відповідні k2 = -2. При вирішенні системи (A +2 kE) х = 0, її перше рівняння (3 +2) х1 + х2 = 0, 5х1 + х2 = 0.

    Якщо покласти х1 = 1, то х2 = -5. Відповідні власні вектори х = С2 (1, 3), C2 = const.

    Загальне безліч всіх власних векторів заданої матриці:
     х = С1 (1, 3) + С2 (1, 3).