Як знайти зворотну матрицю

Необхідність знайти матрицю, зворотну до даної, виникає при розподілі матриць та вирішенні матричних рівнянь, які використовуються в економічному аналізі господарської діяльності та інших прикладних задачах.

Інструкція

1. Матрична алгебра є розділ вищої математики, що має широку область застосування не тільки в цій науці. Матриці використовуються скрізь, де потрібно вирішити громіздку систему, що має декілька невідомих. Їх компактна запис дозволяє прискорити процес обчислення.
2. Основний числовий характеристикою матриці є визначник. Від його значення або виконання умови рівності нулю залежить, чи є у завдання рішення. Наприклад, щоб знайти зворотну матрицю, насамперед обчисліть визначник. Якщо він дорівнює нулю, то матриця необоротна і називається виродженою. Крім того, зверніть увагу на розмірність: зворотний можна знайти тільки для квадратної матриці, тобто такий, у якій кількість рядків дорівнює числу стовпців.
3. 
   
   
                 Для знаходження визначника використовуйте формулу розкладання по першому рядку. Його порядок дорівнює розмірності матриці. Наприклад:

   Δ_2 = а11 • а22 — а12 • а21 — другий порядок;
   Δ_3 = а11 • а22 • А33 + а12 • А23 • а31 + а21 • А32 • А13 — а31 • а22 • А13 — А12 • а21 • А33 — а11 • А23 • А32 — третій порядок.

4. Отже, ви знайшли визначник, і він не дорівнює нулю. Наступне ваша дія — пошук алгебраїчних доповнень. Це відноситься до кожного елементу матриці і визначається виходячи з формули мінору, помноженого на (-1) ^ k, де k дорівнює сумі номерів рядка та стовпця.
5. Розділіть матрицю з алгебраїчних доповнень на значення визначника, і ви знайдете зворотний матрицю. Найкраще ці дії розглянути на прикладі. Конкретність чисел завжди робить теорію більш доступною для розуміння.
6. 
   
   
                 Знайдіть матрицю, зворотну до даної.
7. Обчисліть її визначник, підставляючи значення елементів у вже відому формулу:

   Δ = 64.

8. 
   
   
                 Складіть матрицю алгебраїчних доповнень:

   А11 = -13; А12 = 23; А13 = -2;
   А21 = -12; А22 = 36; А23 = 8;
   А31 = 31; А32 = -45; А33 = -10.

9. 
   
   
                 Розділіть кожен елемент нової матриці на число визначника.
10. 
    
    
                  Правильність рішення можна перевірити, виконавши операцію множення двох матриць, прямий і зворотній. У результаті повинна вийти одинична матриця Е.