Як знайти аргумент комплексного числа

Як знайти аргумент комплексного числа

Комплексним числом називають число виду z = x + i * y, де x і y — дійсні числа, а i = уявна одиниця (тобто число, квадрат якого дорівнює -1). Щоб визначити поняття аргументу комплексного числа, необхідно розглянути комплексне число на комплексній площині в полярній системі координат.

Інструкція

  1. Площина, на якій представляють комплексні числа, називається комплексною. На цій площині горизонтальну вісь займають речові числа (x), а вертикальну вісь — уявні числа (y). На такій площині число задається двома координатами z =, y}. У полярній системі координат координатами точки є модуль і аргумент. Модулем називають відстань | z | від точки до початку координат. Аргументом називають кут? між вектором, що з’єднує точку і початок координат і горизонтальною віссю системи координат (див. малюнок).
  2. З малюнка видно, що модуль комплексного числа z = x + i * y знаходиться по теоремі Піфагора: | z | =? (X ^ 2 + y ^ 2). Далі аргумент числа z знаходиться як гострий кут трикутника — через значення тригонометричних функцій sin, cos, tg:

    sin? = Y /? (X ^ 2 + y ^ 2),

    cos? = X /? (X ^ 2 + y ^ 2),

    tg? = Y / x.
  3. Наприклад, нехай дано число z = 5 * (1 +? 3 * i). Насамперед виділіть речову і уявну частини: z = 5 +5 *? 3 * i. Виходить, що речова частина x = 5, а уявна частина y = 5 *? 3. Обчисліть модуль числа: | z | =? (25 + 75) =? 100 = 10. Далі знайдіть синус кута?: Sin? = 5 / 10 = 1 / 2. Звідси виходить аргумент числа z дорівнює 30 °.
  4. Приклад 2. Нехай дано число z = 5 * i. За малюнком видно, що кут? = 90 °. Перевірте це значення за формулою, наведеною вище. Запишіть координати даного числа на комплексній площині: z =. Модуль числа | z | = 5. Тангенс кута tg? = 5 / 5 = 1. Звідси випливає, що? = 90 °.
  5. Приклад 3. Нехай необхідно знайти аргумент суми двох комплексних чисел z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i. За правилами складання складаєте ці два комплексні числа: z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * i = 3 + 9 * i. Далі за наведеною вище схемою розраховуєте аргумент: tg? = 9 / 3 = 3.

Зверніть увагу Зверніть увагу

Якщо число z = 0, то значення аргументу для нього не визначено.

Корисні поради

Значення аргументу комплексного числа визначається з точністю до 2 *? * K, де k — будь-яке ціле число. Значення аргументу? таке, що -?