Як знайти асимптоти графіка функції

Як знайти асимптоти графіка функції

Асимптоти — це прямі, до яких необмежено наближається крива графіка функції при прагненні аргументу функції до безкінечності. Перш ніж приступити до побудови графіка функції, потрібно знайти всі вертикальні і похилі (горизонтальні) асимптоти, якщо вони існують.

Інструкція

  1. Знайдіть вертикальні асимптоти. Нехай дана функція y = f (x). Знайдіть її область визначення та виділіть всі точки a, в яких ця функція не визначена. Підрахуйте межі lim (f (x)), коли x прямує до a, к (a +0) або до (a-0). Якщо хоча б один такий межа дорівнює + ∞ (або — ∞), то вертикальної асимптотой графіка функції f (x) буде пряма x = a. Обчисливши два односторонніх межі, ви визначите як себе веде функція при наближенні до асимптоти з різних сторін.
  2. Вивчіть кілька прикладів. Нехай функція y = 1 / (x ² -1). Підрахуйте межі lim (1 / (x ² -1)), коли x прагне до (1 ± 0), (-1 ± 0). Функція має вертикальні асимптоти x = 1 і x =- 1, так як ці межі дорівнюють + ∞. Нехай дана функція y = cos (1 / x). У цієї функції немає вертикальної асимптоти x = 0, так як область зміни функції косинус відрізок [-1; +1] і її межа ніколи не дорівнюватиме ± ∞ при будь-яких значеннях x.
  3. Знайдіть тепер похилі асимптоти. Для цього підрахуйте межі k = lim (f (x) / x) і b = lim (f (x)-k × x) при x, що прагне до + ∞ (або — ∞). Якщо вони існують, то похила асимптота графіка функції f (x) буде задана рівнянням прямої y = k × x + b. Якщо k = 0, пряма y = b називається горизонтальною асимптотой.
  4. Розгляньте для найкращого розуміння наступний приклад. Нехай дана функція y = 2 × x-(1 / x). Підрахуйте межа lim (2 × x-(1 / x)) при x, що прагне до 0. Ця межа дорівнює ∞. Тобто вертикальної асимптотой функції y = 2 × x-(1 / x) буде пряма x = 0. Знайдіть коефіцієнти рівняння похилій асимптоти. Для цього підрахуйте межа k = lim ((2 × x-(1 / x)) / x) = lim (2 — (1 / x ²)) при x, що прагнуть до + ∞, тобто виходить k = 2. І тепер підрахуйте межа b = lim (2 × x-(1 / x)-k × x) = lim (2 × x-(1 / x) -2 × x) = lim (-1 / x) при x, прагнуть до + ∞, тобто b = 0. Таким чином, похила асимптота даної функції задана рівнянням y = 2 × x.
  5. Зверніть увагу, що асимптота може перетинати криву. Наприклад, для функції y = x + e ^ (-x / 3) × sin (x) межа lim (x + e ^ (-x / 3) × sin (x)) = 1 при x, що прагнуть до ∞, а lim (x + e ^ (-x / 3) × sin (x)-x) = 0 при x, що прагнуть до ∞. Тобто асимптотой буде пряма y = x. Вона перетинає графік функції в декількох точках, наприклад, в точці x = 0.

Зверніть увагу

Знак ^ позначає зведення в ступінь.