Як знайти детермінант

Як знайти детермінант

Детермінант (або визначник) матриці є найважливішою числовою характеристикою квадратної матриці. Обчислення детермінанта матриці другого і третього порядку зводиться до застосування найпростіших формул. При знаходженні ж детермінанта для матриць більш високого порядку будуть потрібні кропіткі обчислення або використання спеціальних програм або он-лайн сервісів.

Вам знадобиться

- Калькулятор;
- Ручка;
- Папір;
- Комп’ютер.

Інструкція

  1. Щоб знайти детермінант матриці першого і другого порядку, скористайтесь наступними правилами:

    Для матриці першого порядку:

    Δ1 = а11,

    Для матриці другого порядку:

    Δ2 = а11 * а22 — а12 * а21,

    де:

    Δ — загальноприйняте позначення детермінанта,

    аij — позначення елемента матриці, розташованого в i-му рядку і в j-м стовпці.
  2. Щоб запам’ятати формулу для обчислення детермінанта матриці розміром 2х2, скористайтесь наступним формулюванням:

    З твору елементів, розташованих на головній діагоналі (що проходить зверху-вниз, зліва-направо), потрібно відняти добуток елементів побічної діагоналі (зверху-вниз, праворуч-ліворуч).
  3. Щоб знайти детермінант для матриці 3х3 виберіть у ній довільну рядок або стовпець — переважно такий, в якому зустрічається найбільше нулів. Потім помножте кожен елемент цього рядка (стовпця) на детермінант матриці 2х2, отриманої викреслюванням рядка і стовпця, що містять цей елемент. Після чого, отримані твору необхідно скласти. Причому, складові, відповідні непарних елементів рядка (стовпця) потрібно брати зі знаком плюс, а пов’язані з парних — зі знаком мінус. Матриця, отримана викреслюванням i-го рядка і j-го стовпця, називається додатковим мінором (Mij) до елементу аij основної матриці.
  4. Приклад.

    Якщо для обчислення детермінанта вибрати перший рядок матриці 3х3, то вищеописане правило перетвориться на наступну формулу:

    Δ3 = а11 * а22 * А33 — а11 * А23 * А32 — А12 * а21 * А33 + а12 * А23 * а31 + А13 * а21 * А32 — А13 * а22 * а31
  5. Аналогічним чином зробите, якщо потрібно знайти детермінант матриці більшої розмірності. Тільки додаткові мінори для матриці розмірністю, наприклад, 4х4 будуть вже мати розмір 3х3, для обчислення детермінанта яких доведеться виділити мінори меншого порядку (2х2).
  6. Як видно, із збільшенням розмірності, складність обчислень детермінанта матриці росте дуже швидко. По науковому, кількість елементарних обчислень, необхідних для обчислення визначника матриці nxn позначається як О (n!) — тобто можна порівняти з кількістю n! (Це навіть більше горезвісної геометричній прогресії). Вже при розрахунку детермінанта для матриці 4х4 дуже велика ймовірність помилки, тому для знаходження детермінантів для «великих» матриць скористайтеся он-лайн сервісами та додатками-калькуляторами.