Як знайти діагональ правильної призми

Як знайти діагональ правильної призми

Знаходження діагоналі правильної призми часто використовується як проміжний етап при вирішенні більш складних завдань. Загальна формула легко виводиться при розгляді двох прямокутних трикутників.

Інструкція

  1. Для знаходження діагоналі правильної призми вам необхідно розібратися всього в декількох визначеннях.

    Призмою називається багатогранник, що має в якості підстав два рівних багатокутника (трикутника, чотирикутника і т.д.), що лежать в паралельних площинах, а в якості бічних граней — паралелограми.

    Прямий призмою називається призма, у якої бічні грані-прямокутники.

    Правильною призмою називається пряма призма, підстави якої є правильними багатокутниками (рівносторонній трикутник, квадрат, і т.д.)

    АВСDА1В1С1D1 — Правильна чотирикутна призма.

    АА1В1В — бічна грань правильної чотирикутної призми.

    Усі чотири бічних межі даної призми рівні.

    АВСD і А1В1С1D1-підстави призми (квадрати, що лежать в паралельних площинах).

    Діагоналлю багатогранника називається відрізок, який з’єднує дві його не суміжні вершини, тобто вершини, які не належать одній грані.

    З малюнка видно, що точка А і точка С 1 не належать одній грані і отже відрізок АС1 — діагональ даної призми.
  2. Для того щоб знайти діагональ, призми треба розглянути трикутник АСС1. Цей трикутник прямокутний. Діагональ призми АС1 в розглянутому трикутнику буде гіпотенузою, а відрізки АС і СС1 катетами. З теореми Піфагора (в прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів) випливає, що:

     АС12 = АС2 + СС12 (1);
  3. Далі слід розглянути трикутник АСD. Трикутник АСD теж прямокутний (т.к. підставу призми — квадрат). Для зручності можна позначити бік підстави буквою а. Таким чином по теоремі Піфагора:

    АС2 = а2 + а2, АС = √ 2а (2);
  4. Якщо позначити висоту призми буквою h і підставити вираз (2) у вираз (1), вийде:

    АС12 = 2А2 + h2, АС1 = √ (2a ^ 2 + h ^ 2), де а — сторона підстави, h — висота.

    Дана формула справедлива для будь правильної призми.