Як знайти діагональ

Як знайти діагональ

У кожного багатогранника, прямокутника і паралелограма є діагональ. Вона, як правило, з’єднує між собою кути будь-який з цих геометричних фігур. Значення діагоналі доводиться знаходити при вирішенні задач з елементарної і вищої математики.

Інструкція

  1. Діагоналлю називається будь-яка пряма, що з’єднує кути багатогранників. Порядок її знаходження залежить від виду фігури (ромб, квадрат, паралелограм) і від того, які дані наведені в задачі. Найбільш простий спосіб знаходження діагоналі прямокутника полягає в наступному.

    Дано дві сторони прямокутника a і b. Знаючи, що всі його кути рівні 90 °, а його діагональ є гіпотенузою двох трикутників, можна зробити висновок, що діагональ цієї фігути можна знайти по теоремі Піфагора. В даному випадку, сторони прямокутника є катетами трикутників. Звідси випливає, що діагональ прямокутника дорівнює:

    d = √ (a ^ 2 + b ^ 2)

    Окремим випадком застосування цього способу до знаходження діагоналі є квадрат. Його діагональ також можна знайти по теоремі Піфагора, але, враховуючи, що всі його сторони рівні, діагональ квадрата дорівнює a √ 2. Величина a і є сторона квадрата.
  2. Якщо дано паралелограм, то його діагональ знаходять, як правило, по теоремі косинусів. Однак, у виняткових випадках при заданому значення другої діагоналі можна знайти першу з рівняння:

    d1 = √ 2 (a ^ 2 + b ^ 2)-d2 ^ 2

    Теорема косинусів застосовна тоді, коли не дана другу діагональ, а дані тільки сторони і кути. Вона є узагальненою теоремою Піфагора. Припустимо, даний паралелограм, сторони якого рівні b і c. Через два протилежних кута паралелограма проходить діагональ a. Оскільки a, b і c утворюють трикутник, можна застосувати теорему косинусів, за якою може бути обчислена діагональ:

    a ^ 2 = √ b ^ 2 + c ^ 2-2bc * cosα

    Коли дана площа паралелограма і одна з діагоналей, а також кут між двома діагоналями, діагональ можна обчислити таким способом:

    d2 = S/d1 * cos

    α

    Ромбом називається паралелограм, у якого всі сторони рівні. Нехай у нього є дві сторони, рівні a, і, невідома діагональ. Тоді, знаючи теорему косинусів, діагональ можна обчислити за формулою:

    d = a ^ 2 + a ^ 2-2a * a * cosα = 2a ^ 2 (1-cosα)
  3. Діагональ трапеції знаходиться декількома способами. Для її обчислення необхідно знати, як правило, три величини — верхнє та нижнє підставу, а також хоча б одну бічну сторону. Це можна розглянути на прикладі прямокутної трапеції.

    Припустимо, дана прямокутна трапеція. Спочатку потрібно знайти невеликий відрізок, який є катетом прямокутного трикутника. Він дорівнює різниці верхнього та нижнього підстав. Оскільки трапеція прямокутна, то з креслення видно, що висота дорівнює бічній стороні трапеції. Внаслідок цього, можна знайти іншу бічну сторону трапеції. Якщо відомі верхнє підставу і бічна сторона, то по теоремі косинусів може бути знайдена перша діагональ:

    c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2-2ab * cosα

    Друга діагональ знаходиться виходячи із значень першої бічної сторони і верхнього підстави по теоремі Піфагора. В даному випадку, ця діагональ є гіпотенузою прямокутного трикутника.