Як знайти диференціал

Як знайти диференціал

Диференціал тісно пов’язаний не тільки з математикою, але і з фізикою. Він розглядається в багатьох задачах, пов’язаних з перебуванням швидкості, яка залежить від відстані і часу. У математиці визначення диференціала — це похідна функції. Диференціал має ряд специфічних властивостей.

Інструкція

  1. Уявіть, що деяка точка A за певний проміжок часу t пройшла шлях s. Рівняння руху точки A можна записати в наступному вигляді:

    s = f (t), де f (t) — функція пройденого шляху

    Оскільки швидкість знаходиться шляхом ділення шляху на час, вона є похідною шляху, і, відповідно, зазначеної вище функції:

    v = s’t = f (t)

    При зміні швидкості і часу швидкість обчислюється таким чином:

    v = Δs / Δt = ds / dt = s’t

    Всі отримані значення швидкості є похідні шляху. За деякий проміжок часу, відповідно, може змінитися і швидкість. Крім того, методом диференціального обчислення знаходять і прискорення, яке є першою похідною швидкості і другої похідної шляху. Коли йдеться про другу похідної функції, мова йде про дифференциалах другого порядку.
  2. Диференціал функції з математичної точки зору є похідною, яка записується в наступному вигляді:

    dy = df (x) = y’dx = f ‘(x) Δx

    Коли дана звичайна функція, виражена в числових значеннях, диференціал обчислюється за такою формулою:

    f ‘(x) = (x ^ n)’ = n * x ^ n-1

    Наприклад, у задачі дана функція: f (x) = x ^ 4. Тоді диференціал цієї функції дорівнює: dy = f ‘(x) = (x ^ 4)’ = 4x ^ 3

    Диференціали простих тригонометричних функцій наведені у всіх довідниках з вищої математики. Похідна функції y = sin x дорівнює виразу (y) ‘= (sinx)’ = cosx. Також в довідниках дані диференціали ряду логарифмічних функцій.
  3. Диференціали складних функцій обчислюються шляхом використання таблиці диференціалів і знання деяких їхніх властивостей. Нижче наведені основні властивості диференціала.

    Властивість 1. Диференціал суми дорівнює сумі диференціалів.

    d (a + b) = da + db

    Дана властивість застосовується незалежно від того, яка функція дана — тригонометрична або звичайна.

    Властивість 2. Постійний множник можна винести за знак диференціала.

    d (2a) = 2d (a)

    Властивість 3. Твір складної диференційної функції дорівнює добутку однієї простої функції на диференціал другий, складеному з твором другої функції на диференціал першої. Виглядає це таким чином:

    d (uv) = du * v + dv * u

    Таким прикладом може служити функція y = x sinx, диференціал якої дорівнює:

    y ‘= (xsinx)’ = (x) ‘* sinx + (sinx)’ * x = sinx + cosx ^ 2