Як знайти дисперсію випадкової величини

Як знайти дисперсію випадкової величини

Дисперсія характеризує в середньому ступінь розкиду значень СВ щодо її середнього значення, тобто показує наскільки щільно згруповані значення Х навколо MХ. Якщо СВ має розмірністю (може бути виражена в будь-яких одиницях), то розмірність дисперсії дорівнює квадрату розмірності СВ.

Вам знадобиться

- Папір;
- Ручка.

Інструкція

  1. Для розгляду даного питання необхідно ввести деякі позначення. Піднесення до степеня буде позначено через символ «^», корінь квадратний — «sqrt», а позначення, які стосуються інтегралів, наведені на рис.1.
  2. Нехай відомо середнє значення (математичне очікування) mx випадкової величини (СВ) Х. слід нагадати, що операторний позначення математичного сподівання MХ = М {X} = M [X], при цьому для нього справедливо властивість M {aX} = aM {X }. Математичне сподівання константи є сама ця константа (М {a} = a). Крім того, необхідно ввести поняття центрованої СВ. ХЦ = Х-mx. Очевидно, M {XЦ} = M {X}-mx = 0
  3. Дисперсією СВ (D х) називають математичне сподівання квадрата центрованої СВ.

                                                              Dх = int ((x-mx) ^ 2) W (x) dx).

    При цьому W (x) — щільність ймовірності СВ.

    Для дискретних СВ D х = (1 / n) ((x-mx) ^ 2 + (x2-mx) ^ 2 + … + (xn-mx) ^ 2). Для дисперсії, як і для математичного сподівання, передбачена операторна запис D х = D [X] (або D {X}).
  4. З визначення дисперсії випливає, що аналогічним чином її можна знайти за наступною формулою:

                                         Dx = M {(X-mx) ^ 2} = D {X} = М {Xц ^ 2}.

    На практиці як приклад характеристики розсіювання частіше користуються середнім квадратом відхилення СВ (СКО — середньоквадратичне відхилення). Бх = sqrt (Dx), при цьому розмірність Х і СКО збігаються [X] = [Бх].
  5. Властивості дисперсії.

    1. D [a] = 0. Дійсно, D [a] = M [(aa) ^ 2] = 0 (фізичний зміст — у постійної величини немає розкиду).

    2. D [aX] = (a ^ 2) D [X], так як М {(aX-M [aX]) ^ 2} = M {(aX — (amx)) ^ 2} = (a ^ 2) M {(X — mx) ^ 2} = (a ^ 2) D {X}.

    3. Dx = M {X ^ 2} — (mx ^ 2), тому що M {(X — MХ) ^ 2} = M {X ^ 2 — 2Xmx + mx ^ 2} = M {X2} — 2M {X} mx + mx2 =

    = M {X ^ 2} — 2mx ^ 2 + mx ^ 2 = M {X ^ 2} — mx ^ 2.

    4. Якщо СВ X і Y незалежні, то M {XY} = M {X} M {Y}.

    5. D {X + Y} = D {X-Y} = D {X} + D {Y}. Дійсно, враховуючи що Х і Y незалежні, незалежними є і ХЦ і Yц. Тоді, наприклад, D {XY} = M {((XY)-M [XY]) ^ 2} = M {((X-mx) + (Y-my)) ^ 2} = M {Xц ^ 2} + M {Yц ^ 2}-М {Xц ^ 2} M {Yц ^ 2} = DxDy.
  6. Приклад. Дана щільність ймовірності випадкового напруги Х (см рис.2). Знайти її дисперсію і СКО.

    Рішення. За умовою нормування щільності ймовірності, площа під графіком W (x) дорівнює 1. Так як це трикутник, то (1 / 2) 4W (4) = 1. Тоді W (4) = 0,5 1 / B. Звідси W (x) = (1 / 8) x. mx = int (0 — 4) (x (x / 8) dx =

    = (X ^ 3) / 24 | (0 — 4) = 8 / 3. При обчисленні дисперсії найзручніше використовувати її третім властивість:

                 Dx = M {X ^ 2} — (mx ^ 2) = int (0 — 4) ((x ^ 2) (x | 8) dx — 64 | 9 = (x ^ 4) / 32) | (0 — 4) -64 / 9 = 8-64/9 = 8 / 9.