Як знайти дотичне рівняння

Як знайти дотичне рівняння

У підручнику 11 класу з алгебри учні проходять тему похідних. І ось в цьому великому параграфі особливу увагу приділено для з’ясування, що ж таке дотична до графіка, і як знайти і скласти її рівняння.

Інструкція

  1. Нехай дано функція y = f (x) і певна точка М з координатами а і f (a). І нехай відомо, що існує f ‘(a). Ссоставім рівняння дотичній. Це рівняння, як рівняння будь-який інший прямий, яка не паралельна осі ординат, має вигляд y = kx + m, тому для його складання необхідно знайти невідомі k і m. З кутовим коефіцієнтом все ясно. Якщо М належить графіку і якщо від неї можна провести дотичну, не перпендикулярну до осі абсцис, то кутовий коефіцієнт k дорівнює f ‘(a). Для обчислення невідомого m використовуємо те, що шукана пряма проходить через точку М. Отже, якщо підставити координати точки в рівняння прямої, то отримаємо правильне рівність f (a) = ka + m. звідси знаходимо, що m = f (a)-ka. Залишилося тільки підставити значення коефіцієнтів у рівняння прямої.

    y = kx + m

    y = kx + (f (a)-ka)

    y = f (a) + f ‘(a) (x-a)

    З цього випливає, що рівняння має вигляд y = f (a) + f ‘(a) (xa).
  2. Для того, щоб знайти рівняння дотичної до графіка використовують певний алгоритм. По-перше, позначте х буквою а. По-друге, обчисліть f (a). По-третє, знайдіть похідну від х і обчисліть f ‘(a). І нарешті, підставте знайдені а, f (a) і f ‘(a) у формулу y = f (a) + f’ (a) (xa).
  3. Для того, щоб краще зрозуміти, як використовувати алгоритм, розгляньте наступне завдання. Складіть рівняння дотичній для функції y = 1 / x у точці х = 1.

    Для вирішення цього завдання скористайтеся алгоритмом складання рівняння. Але при цьому враховуйте, що в даному прикладі дана функція f (x) = 2-х-х3, а = 0.

    1. В умові задачі вказано значення точки а;

    2. Отже, f (a) = 2-0-0 = 2;

    3. f ‘(x) = 0-1-3х =- 1-3х; f’ (a) =- 1;

    4. Підставте знайдені числа в рівняння дотичної до графіка:

     y = f (a) + f ‘(a) (x-a) = 2 + (-1) (х-0) = 2-х.

    Відповідь: y = 2-х.

Корисні поради

Для підтвердження ви можете побудувати графік функції і знайденою прямій.