Як знайти довжину бісектриси в трикутнику

Як знайти довжину бісектриси в трикутнику

Строго кажучи, бісектриса — це промінь, що ділить кут навпіл і має початок в тій же точці, де починаються і промені, що утворюють сторони цього кута. Однак стосовно до трикутника під бісектрисою увазі не промінь, а відрізок між однією з вершин і протилежної їй стороною фігури. Основне ж її властивість (розподіл навпіл кута у вершині) зберігається і в трикутнику. Така особливість дозволяє говорити про довжину бісектриси і використовувати відповідні формули для її обчислення.

Інструкція

  1. Якщо вам відомі довжини сторін (a і b) трикутника, що утворюють розділений навпіл кут (γ), то довжину бісектриси (L) можна вивести з теореми косинусів. Для цього знайдіть значення подвоєного твори довжин сторін на косинус половини кута між ними і розділіть отриманий результат на суму довжин сторін: L = 2 * a * b * cos (γ / 2) / (a ​​+ b).
  2. Якщо величина кута, який ділиться бісектрисою, невідома, але дані довжини всіх сторін трикутника (a, b і c), то для обчислень зручніше ввести додаткову змінну — напівпериметр: p = ½ * (a + b + c). Після цього частина формули довжини бісектриси (L) з попереднього кроку треба буде замінити — в чисельник дробу поставте подвоєний квадратний корінь з добутку довжин сторін, що утворюють розділений бісектрисою кут, на напівпериметр і частка від вирахування з напівпериметр довжини третьої сторони. Знаменник ж залиште без змін — це повинна бути сума довжин сторін розділеного кута трикутника. У результаті формула має виглядати так: L = 2 * √ (a * b * p * (pc)) / (a ​​+ b).
  3. Якщо ускладнити подкоренное вираз формули з попереднього кроку, то можна обійтися і без напівпериметр. Для цього залиште знаменник (сума довжин сторін розділеного кута) без змін, а в чисельнику має бути квадратний корінь з добутку довжин цих же сторін на суму їх довжин, з якої вирахувана довжина третьої сторони, а також на суму довжин усіх трьох сторін: L = √ (a * b * (a + bc) * (a + b + c)) / (a ​​+ b).
  4. Якщо у вихідних умовах дані не тільки довжини сторін (a і b), що утворюють розділений бісектрисою кут, але і довжини відрізків (d і e), на які ця бісектриса поділила третю сторону, то теж доведеться витягувати квадратний корінь. Довжину бісектриси (L) в цьому випадку розраховуйте як корінь з добутку довжин відомих сторін, з якого відніме твір довжин відрізків: L = √ (a * bd * e).