Як знайти довжину медіани в трикутнику

Як знайти довжину медіани в трикутнику

Медіана трикутника — це відрізок, проведений з будь-якої його вершини до протилежної сторони, при цьому він ділить її на частини рівної довжини. Максимальне число медиан в трикутнику — три, за кількістю вершин і сторін.

Інструкція

  1. Завдання 1.

    У довільному трикутнику ABD проведена медіана BE. Знайдіть її довжину, якщо відомо, що сторони, відповідно, дорівнюють AB = 10 см, BD = 5 см і AD = 8 см.
  2. Рішення.

    Застосуйте формулу медіани з виразом через усі сторони трикутника. Це просте завдання, оскільки всі довжини сторін відомі:

    BE = √ ((2 * AB ^ 2 + 2 * BD ^ 2 — AD ^ 2) / 4) = √ ((200 + 50 — 64) / 4) = √ (46,5) ≈ 6,8 (см ).
  3. Завдання 2.

    У рівнобедреному трикутнику ABD боку AD і BD рівні. Проведена медіана з вершини D на бік BA, при цьому вона складає кут з BA, рівний 90 °. Знайдіть довжину медіани DH, якщо відомо, що BA = 10 см, а кут DBA дорівнює 60 °.
  4. Рішення.

    Для знаходження медіани визначте одну і рівних сторін трикутника AD або BD. Для цього розгляньте один з прямокутних трикутників, припустимо, BDH. З визначення медіани випливає, що BH = BA / 2 = 10 / 2 = 5.

    Знайдіть сторону BD по тригонометричної формулою з властивості прямокутного трикутника — BD = BH / sin (DBH) = 5/sin60 ° = 5 / (√ 3 / 2) ≈ 5,8.
  5. Тепер можливі два варіанти знаходження медіани: по формулі, використаної в першій завданню або по теоремі Піфагора для прямокутного трикутника BDH: DH ^ 2 = BD ^ 2 — BH ^ 2.

    DH ^ 2 = (5,8) ^ 2 — 25 ≈ 8,6 (см).
  6. Завдання 3.

    У довільному трикутнику BDA проведено три медіани. Знайдіть їх довжини, якщо відомо, що висота DK дорівнює 4 см і ділить основу на відрізки довжиною BK = 3 та KA = 6.
  7. Рішення.

    Для знаходження медиан необхідні довжини всіх сторін. Довжину BA можна знайти з умови: BA = BH + HA = 3 + 6 = 9.

    Розгляньте прямокутний трикутник BDK. За теоремою Піфагора знайдіть довжину гіпотенузи BD:

    BD ^ 2 = BK ^ 2 + DK ^ 2; BD = √ (9 + 16) = √ 25 = 5.
  8. Аналогічно знайдіть гіпотенузу прямокутного трикутника KDA:

    AD ^ 2 = DK ^ 2 + KA ^ 2; AD = √ (16 + 36) = √ 52 ≈ 7,2.
  9. За формулою вираження через сторони знайдіть медіани:

    BE ^ 2 = (2 * BD ^ 2 + 2 * BA ^ 2 — AD ^ 2) / 4 = (50 + 162 — 51,8) / 4 ≈ 40, звідси BE ≈ 6,3 (см).

    DH ^ 2 = (2 * BD ^ 2 + 2 * AD ^ 2 — BA ^ 2) / 4 = (50 + 103,7 — 81) / 4 ≈ 18,2, звідси DH ≈ 4,3 (см).

    AF ^ 2 = (2 * AD ^ 2 + 2 * BA ^ 2 — BD ^ 2) / 4 = (103,7 + 162 — 25) / 4 ≈ 60, звідси AF ≈ 7,8 (см).