Як знайти довжину медіани

Як знайти довжину медіани

Медіана — це відрізок, що з’єднує вершину трикутника і середину противолежащей сторони. Знаючи довжини всіх трьох сторін трикутника, можна знайти його медіани. В окремих випадках рівнобедреного і рівностороннього трикутника, очевидно, досить знання, відповідно, двох (не рівних один одному) і однієї сторони трикутника. Медіану також можна знайти і за іншими даними.

Вам знадобиться

Довжини сторін трикутника, кути між сторонами трикутника

Інструкція

  1. Розглянемо найбільш загальний випадок трикутника ABC з трьома не рівними один одному сторонами. Довжину медіани AE цього трикутника можна обчислити за формулою: AE = sqrt (2 * (AB ^ 2) +2 * (AC ^ 2) — (BC ^ 2)) / 2. Решта медіани знаходяться абсолютно аналогічно. Ця формула виводиться через теорему Стюарта, або через добудовані трикутника до паралелограма.
  2. Якщо трикутник ABC — рівнобедрений і AB = AC, то медіана AE буде одночасно і висотою цього трикутника. Отже, трикутник BEA буде прямокутним. За теоремою Піфагора, АЕ = sqrt ((AB ^ 2) — (BC ^ 2) / 4). Із загальної формули довжини медіани трикутника, для медиан BO і СP справедливо: BO = CP = sqrt (2 * (BC ^ 2) + (AB ^ 2)) / 2.
  3. Якщо трикутник ABC — рівносторонній, то, очевидно, що всі його медіани рівні один одному. Так як кут при вершині рівностороннього трикутника дорівнює 60 градусам, то AE = BO = CP = a * sqrt (3) / 2, де a = AB = AC = BC — довжина сторони рівностороннього трикутника.
  4. Медіану трикутника можна знайти і за іншими даними. Наприклад, якщо задані довжини двох сторін, до однієї з яких проведена медіана, наприклад, довжини сторін AB і BC, а також кут x між ними. Тоді довжину медіани можна знайти через теорему косинусів: AE = sqrt ((AB ^ 2 + (BC ^ 2) / 4)-AB * BC * cos (x)).