Як знайти довжину відрізка за координатами

Як знайти довжину відрізка за координатами

Існують три основні системи координат, що використовуються в геометрії, теоретичної механіки, інших розділах фізики: декартова, полярна і сферична. У цих системах координат кожна точка має три координати. Знаючи координати двох точок, можна визначити відстань між цими двома точками.

Вам знадобиться

Декартові, полярні і сферичні координати кінців відрізка

Інструкція

  1. Розгляньте для початку прямокутну декартову систему координат. Положення точки в просторі в цій системі координат визначається координатами x, y і z. З початку координат до точки проводиться радіус-вектор. Проекції цього радіус-вектора на координатні осі і будуть координатами цієї точки.

    Нехай у вас тепер є дві точки з координатами x1, y1, z1 і x2, y2 і z2 відповідно. Позначте за r1 і r2, відповідно, радіус-вектори першої та другої точки. Очевидно, що відстань між цими двома точками буде дорівнювати модулю вектора r = r1-r2, де (r1-r2) — векторна різниця.

    Координати вектора r, очевидно, будуть наступними: x1-x2, y1-y2, z1-z2. Тоді модуль вектора r або відстань між двома точками буде одно: r = sqrt (((x1-x2) ^ 2) + ((y1-y2) ^ 2) + ((z1-z2) ^ 2)).
  2. Розгляньте тепер полярну систему координат, в якій координата точки буде задаватися радіальної координатою r (радіус-вектор в площині XY), кутовий координатою φ (кутом між вектором r і віссю X) і координатою z, аналогічної координаті z в декартовій системі.

    Полярні координати точки можна перевести в декартові наступним чином: x = r * cosφ, y = r * sinφ, z = z. Тоді відстань між двома точками з координатами r1, φ1, z1 і r2, φ2, z2 дорівнюватиме R = sqrt (((r1 * cosφ1-r2 * cosφ2) ^ 2) + ((r1 * sinφ1-r2 * sinφ2) ^ 2 ) + ((z1-z2) ^ 2)) = sqrt ((r1 ^ 2) + (r2 ^ 2)-2r1 * r2 (cosφ1 * cosφ2 + sinφ1 * sinφ2) + ((z1-z2) ^ 2))
  3. Тепер розгляньте сферичну систему координат. У ній положення точки задається трьома координатами r, φ і θ. r — відстань від початку координат до точки, φ і θ — азимутальні і зенітний кут відповідно. Кут φ аналогічний розі з таким же позначенням в полярній системі координат, а θ — кут між радіус-вектором r і віссю Z, причому 0 <= θ <= pi.

    Переведемо сферичні координати в декартові: x = r * sinθ * cosφ, y = r * sinθ * sinφ * sinφ, z = r * cosφ. Відстань між точками з координатами r1, φ1, θ1 і r2, φ2 і θ2 дорівнюватиме R = =