Як знайти довжину вписаного кола в трикутник

Як знайти довжину вписаного кола в трикутник

Якщо всі крапки всередині периметра кола не виходять за межі периметра трикутника і при цьому периметр кола має всього по одній загальній точці з кожної зі сторін трикутника, то коло називається вписаною в трикутник. Існує всього одне значення радіусу кола, при якому його можна вписати в трикутник із заданими параметрами. Це властивість вписаного кола дозволяє за параметрами трикутника обчислити і його параметри, включаючи довжину кола.

Інструкція

  1. Почніть обчислення довжини вписаною в трикутник кола (l) з визначення її радіуса (r). Якщо відома площа багатокутника (S) і довжини всіх його сторін (a, b і c), то радіус буде дорівнює відношенню подвоєної площі до суми цих довжин r = 2 * S / (a ​​+ b + c).
  2. Використовуйте геометричне визначення константи Пі для обчислення довжини кола по відомому значенню радіусу. Ця константа виражає відношення довжини кола до його діаметру, тобто подвоєному радіусу. Значить, для знаходження довжини кола вам слід помножити отримане на попередньому кроці значення радіуса на подвоєне число Пі. У загальному вигляді цю формулу можна записати так: l = 4 * π * S / (a ​​+ b + c).
  3. Якщо площа трикутника невідома, але дана величина одного з його кутів (α) і довжини всіх сторін (a, b і c), то радіус вписаного кола (r) можна виразити через тангенс кута α. Для цього спочатку складіть довжини всіх сторін і розділіть результат навпіл, потім відніміть від отриманого значення довжину того боку (a), яка лежить навпроти кута відомої величини. Отримане число треба помножити на тангенс половини відомої величини кута: r = ((a + b + c) / 2-a) * tg (α / 2). Якщо цією формулою в другому кроці замінити вираз з першого кроку, то формула довжини кола прийме такий вигляд: l = 2 * π * ((a + b + c) / 2-a) * tg (α / 2).
  4. Можна обійтися і тільки довжинами сторін трикутника (a, b і c). Але в цьому випадку для спрощення формули краще ввести додаткову змінну — напівпериметр трикутника: p = (a + b + c) / 2. З її допомогою радіус вписаного кола можна виразити як квадратний корінь з частки від ділення твори різниці напівпериметр і довжини кожної зі сторін на напівпериметр: r = √ ((pa) * (pb) * (pc) / p). А формула довжини вписаного кола в цьому випадку набуде такого вигляду: l = 2 * π * √ ((pa) * (pb) * (pc) / p).