Як знайти факторіал числа

Як знайти факторіал числа

Факторіал числа — математичне поняття, яке застосовується тільки для цілих невід’ємних чисел. Ця величина являє собою добуток всіх натуральних числі від 1 до підстави факторіала. Поняття знаходить застосування в комбінаториці, теорії чисел і функціональному аналізі.

Інструкція

  1. Щоб знайти факторіал числа, необхідно обчислити добуток всіх чисел, у проміжку від 1 до заданого числа. Загальна формула виглядає таким чином:

    n! = 1 * 2 * … * n, де n — будь-яке ціле невід’ємне число. Факторіал прийнято позначати знаком оклику.
  2. Основні властивості факторіалів:

    • 0! = 1;

    • n! = N * (n-1)! ;

    • n! ^ 2 ≥ n ^ n ≥ n! ≥ n.

    Друге властивість факторіала називається рекурсією, а сам факторіал — елементарної рекурсивної функцією. Рекурсивні функції часто застосовуються в теорії алгоритмів і в написанні комп’ютерних програм, оскільки багато алгоритми і функції програмування мають рекурсивну структуру.
  3. Визначити факторіал великого числа можна за формулою Стірлінга, яка дає, однак, наближене рівність, але з маленькою погрішністю. Повна формула виглядає наступним чином:

    n! = (N / e) ^ n * √ (2 * π * n) * (1 + 1 / (12 * n) + 1 / (288 * n ^ 2) + …)

    ln (n!) = (n + 1 / 2) * ln n — n + ln √ (2 * π),

    де e — основа натурального логарифма, число Ейлера, чисельне значення якого прийнято приблизно рівним 2,71828 …; π — математична константа, значення якої прийнято рівним 3,14.

    Широко поширене використання формули Стірлінга у вигляді:

    n! ≈ √ (2 * π * n) * (n / e) ^ n.
  4. Існують різні узагальнення поняття факторіала, наприклад, подвійний, m-кратний, спадаючий, зростаючий, прайморіал, суперфакторіал. Подвійний факторіал позначається! і дорівнює добутку всіх натуральних чисел на інтервалі від 1 до самого числа, що мають ту ж парність, наприклад, 6! = 2 * 4 * 6.
  5. m-кратний факторіал — загальний випадок подвійного факторіала для будь-якого цілого невід’ємне числа m:

    для n = mk — r справедливо n! …!! = Π (m * I — r), де r — безліч цілих чисел від 0 до m-1, I — належить безлічі чисел від 1 до k.
  6. Зростаючий факторіал записується наступним чином:

    (N) _k = n! / (n — k)!

    Зростаючий:

    (N) ^ k = (n + k -1)! / (N — 1)!
  7. Прайморіал числа дорівнює добутку простих чисел менше самого числа і позначається #, наприклад:

    12 # = 2 * 3 * 5 * 7 * 11, очевидно, що 13 # = 11 # = 12 #.

    Суперфакторіал дорівнює добутку факторіалів чисел на інтервалі від 1 до вихідного числа, тобто:

    sf (n) = 1! * 2! * 3 * … (n — 1)! * n!, наприклад, sf (3) = 1! * 2! * 3! = 1 * 1 * 2 * 1 * 2 * 3 = 12.