Як знайти фокус на параболі

Як знайти фокус на параболі

В алгебрі парабола — перш за все графік квадратного тричлена. Однак існує й геометричне визначення параболи, як сукупності всіх точок, відстань яких від деякої даної точки (фокуса параболи) дорівнює відстані до даної прямої (директриси параболи). Якщо парабола задана рівнянням, то потрібно вміти обчислити координати її фокуса.

Інструкція

  1. Йдучи від зворотного, припустимо, що парабола задана геометрично, тобто відомі її фокус і директриса. Для простоти розрахунків встановимо систему координат так, щоб директриса була паралельна осі ординат, фокус лежав на осі абсцис, а сама вісь ординат проходила точно посередині між фокусом і директрисою. Тоді вершина параболи буде збігатися з початком координат.

    Іншими словами, якщо відстань між фокусом і директрисою позначити p, то координати фокусу будуть рівні (p / 2, 0), а рівняння директриси — x =-p / 2.
  2. Відстань від будь-якої точки (x, y) до точки фокуса дорівнюватиме, за формулою відстані між точками,? (X — p / 2) ^ 2 + y ^ 2). Відстань від цієї ж точки до директриси, відповідно, буде дорівнювати x + p / 2.
  3. Прирівнюючи один одному ці два відстані, ви отримаєте рівняння:? (X — p / 2) ^ 2 + y ^ 2) = x + p / 2.

    Зводячи обидві частини рівняння в квадрат і розкриваючи дужки, ви отримаєте: x ^ 2 — px + (p ^ 2) / 4 + y ^ 2 = x ^ 2 + px + (p ^ 2) / 4.

    Спростивши вираз, ви прийдете до остаточному формулюванні рівняння параболи: y ^ 2 = 2px.
  4. З цього видно, що й рівняння параболи можна привести до виду y ^ 2 = kx, то координати її фокуса будуть рівні (k / 4, 0). Помінявши змінні місцями, ви прийдете до алгебраическому рівнянню параболи y = (1 / k) * x ^ 2. Координати фокусу цієї параболи рівні (0, k / 4).
  5. Парабола, що служить графіком квадратного тричлена, зазвичай задається рівнянням y = Ax ^ 2 + Bx + C, де A, B, і C — константи. Вісь такий параболи паралельна осі ординат.

    Похідна квадратичної функції, заданої тричленної Ax ^ 2 + Bx + C, дорівнює 2Ax + B. Вона звертається в нуль при x = -B/2A. Таким чином, координати вершини параболи рівні (-B/2A, — B ^ 2 / (4A) + C).
  6. Така парабола повністю еквівалентна параболі, заданої рівнянням y = Ax ^ 2, зрушеної шляхом паралельного перенесення на -B/2A по осі абсцис і на-B ^ 2 / (4A) + C по осі ординат. Це легко перевірити заміною координат. Отже, якщо вершина параболи, заданої квадратичної функцією, знаходиться в точці (x, y), то фокус цієї параболи знаходиться в точці (x, y + 1 / (4A).
  7. Підставляючи в цю формулу обчислені на попередньому кроці значення координат вершини параболи і спрощуючи вирази, ви остаточно отримаєте:

    x = — B/2A,

    y = — (B ^ 2 — 1) / 4A + C.