Як знайти градієнт

Як знайти градієнт

При розгляді питань, що включають поняття градієнта, найчастіше функції сприймають як скалярні поля. Тому необхідно ввести відповідні позначення.

Вам знадобиться

- Буму;
- Ручка.

Інструкція

  1. Нехай функція задається трьома аргументами u = f (x, y, z). Приватну похідну функції, на приклад по х, визначають як похідну по цьому аргументу, отриману при фіксуванні інших аргументів. Для інших аргументів аналогічно. Позначення приватної похідною записується у вигляді: дf / дх = u’x …
  2. Повний диференціал дорівнюватиме du = (дf / дх) dx + (дf / дy) dy + (дf / дz) dz.

    Приватні похідні можна розуміти, як похідні за напрямками координатних осей. Тому виникає питання про знаходження похідної за напрямом заданого вектора s в точці M (x, y, z) (не забувайте, що напрямок s задає одиничний вектор-орт s ^ o). При цьому вектор-диференціал аргументів {dx, dy, dz} = {дscos (альфа), дsсоs (бета), дsсоs (гамма)}.
  3. Враховуючи вид повного диференціала du, можна зробити висновок, що похідна по напрямку нію s в точці М дорівнює:

    (Дu / дs) | M = ((дf / дх) | M) соs (альфа) + ((дf / дy) | M) соs (бета) + ((дf / дz) | M) соs (гамма).

    Якщо s = s (sx, sy, sz), то напрямні косинуси {соs (альфа), соs (бета), соs (гамма)} обчислюються (див. рис.1а).
  4. Визначення похідної за напрямом, вважаючи точку М змінної, можна переписати у вигляді скалярного твори:

     (Дu / дs) = ({дf / дх, дf / дy, дf / дz}, {соs (альфа), соs (бета), соs (гамма )})=( grad u, s ^ ​​o).

    Цей вираз буде справедливо для скалярного поля. Якщо розглядається просто функ-ція, то gradf — це вектор, який має координати, що збігаються з приватними похідними f (x, y, z).

    gradf (x, y, z) = {{дf / дх, дf / дy, дf / дz }=)=( дf / дх) i + (дf / дy) j + (дf / дz) k.

    Тут (i, j, k) — орти координатних осей у прямокутній декартовій системі координат.
  5. Якщо використовувати диференційний вектор-оператор Гамільтона Набла, то gradf можна записати, як множення цього вектора-оператора на скаляр f (див. рис. 1б).

    З точки зору зв’язку gradf c похідної за напрямком, рівність (gradf, s ^ ​​o) = 0 можливо, якщо ці вектори ортогональні. Тому gradf часто визначають, як напрям якнайшвидшого зміни скалярного поля. А з точки зору диференціальних операцій (gradf — одна з них), властивості gradf в точності повторюють властивості диференціювання функцій. Зокрема, якщо f = uv, то gradf = (vgradu + u gradv).