Як знайти канонічне рівняння прямої

Як знайти канонічне рівняння прямої

Пряма є одним з основних і вихідних понять в геометрії. Пряму можна визначити як лінію, вздовж якої відстань між двома точками є найкоротшою. Канонічне рівняння прямої в просторі можливо записати двома способами.

Інструкція

  1. Якщо вам необхідно скласти канонічне рівняння прямої, що проходить через деяку точку M з координатами (Xm, Ym, Zm) і спрямовуючим вектором a з координатами (r, s, t), то вам необхідно виконати наступні дії.
  2. Складіть систему параметричних рівнянь прямої:

    X = Xm + r * p

    Y = Ym + s * p

    Z = Zm + t * p,

    де p — деякий довільний параметр.

    З цієї системи висловіть параметр p та отримайте необхідну канонічне рівняння прямої:

    p = (X — Xm) / r = (Y-Ym) / s = (Z — Zm) / t.
  3. Приклад. Нехай дана пряма, що проходить через точку M (2, 5, 0) і задана напрямних вектором a = (4, 4, 1). Параметричне рівняння для даної прямої буде наступним:

    (X — 2) / 4 = (Y — 5) / 4 = Z / 1.
  4. Якщо вам необхідно знайти канонічне рівняння прямої, що проходить через дві точки A (Ax, Ay, Az) і B (Bx, By, Bz), то запишіть ту ж систему параметричних рівнянь, тільки для обох точок A і B.

    X = Ax + r * p, Y = Ay + s * p, Z = Az + t * p

    X = Bx + r * p, Y = By + s * p, Z = Bz + t * p

    Висловіть з першого рівняння першої системи параметр p: p = (X — Ax) / r. З першого рівняння другої системи висловіть коефіцієнт r: r = (X — Bx) / p. Далі підставте значення для r в вираз для p: p = (X — Ax) * p / (X — Bx). Виконайте подібну операцію для всіх рівнянь системи. Скоротивши параметр p в чисельнику всіх дробів, ви отримаєте канонічне рівняння прямої, що проходить через дві точки:

    (X — Ax) / (X — Bx) = (Y — Ay) / (Y — By) = (Z — Az) / (Z — Bz).
  5. Нехай пряма проходить через точки A (1, 2, 3) і B (4, 5, 6). Тоді параметричне рівняння буде мати такий вигляд:

    (X — 1) / (X — 4) = (Y — 2) / (Y — 5) = (Z — 3) / (Z — 6).

Зверніть увагу

Обов’язково повинно виконуватися умова x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 ≠ 0. Тобто координати направляючого вектора не повинні бути рівні нулю одночасно.

Корисні поради

Так як параметричне рівняння прямої є формальною записом, то вираз вигляду (X — Xm) / 0 допустимо.