Як знайти катет прямокутного трикутника, якщо відома гіпотенуза

Як знайти катет прямокутного трикутника, якщо відома гіпотенуза

Трикутник — це частина площини, обмежена трьома відрізками прямих, званих сторонами трикутника, що мають попарно за одним загальним кінця, званих вершинами трикутника. Якщо один з кутів трикутника прямий (дорівнює 90 °), то трикутник називається прямокутним.

Інструкція

  1. Сторони прямокутного трикутника, прилеглі до прямого кута (AB і BC), називаються катетами. Сторона, що лежить навпроти прямого кута, називається гіпотенузою (AC).

    Нехай нам відома гіпотенуза AC прямокутного трикутника ABC: | AC | = c. Позначимо кут з вершиною в точці A як ∟ α, кут з вершиною в точці B як ∟ β. Нам необхідно знайти довжини | AB | і | BC | катетів.
  2. Нехай відомий один з катетів прямокутного трикутника. Припустимо | BC | = b. Тоді ми можемо скористатися теоремою Піфагора, згідно з якою квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів: a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. З даного рівняння знаходимо невідомий катет | AB | = a = √ (c ^ 2 — b ^ 2).
  3. Нехай відомий один з кутів прямокутного трикутника, припустимо ∟ α. Тоді катети AB і BC прямокутного трикутника ABC можна знайти, використовуючи тригонометричні функції. Так отримуємо: синус ∟ α дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузі sin α = b / c, косинус ∟ α дорівнює відношенню прилежащего катета до гіпотенузі cos α = a / c. Звідси знаходимо необхідні довжини сторін: | AB | = a = с * cos α, | BC | = b = c * sin α.
  4. Нехай відомо співвідношення катетів k = a / b. Також вирішуємо завдання з використанням тригонометричних функцій. Відношення a / b є ні що інше, як котангенс ∟ α: ставлення прилежащего катета до протилежного ctg α = a / b. У цьому випадку з даного рівності висловлюємо a = b * ctg α. І підставляємо в теорему Піфагора a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2:

    b ^ 2 * ctg ^ 2 α + b ^ 2 = c ^ 2. Виносимо b ^ 2 за дужки, отримуємо b ^ 2 * (ctg ^ 2 α + 1) = c ^ 2. І звідси легко отримуємо довжину катета b = c / √ (ctg ^ 2 α + 1) = c / √ (k ^ 2 + 1), де k — задане співвідношення катетів.

    За аналогією, якщо відомо співвідношення катетів b / a, вирішуємо завдання із застосуванням тригонометричної функції тангенс tg α = b / a. Підставляємо значення b = a * tg α в теорему Піфагора a ^ 2 * tg ^ 2 α + a ^ 2 = c ^ 2. Звідси a = c / √ (tg ^ 2 α + 1) = c / √ (k ^ 2 + 1), де k — задане співвідношення катетів.
  5. Розглянемо окремі випадки.

    ∟ α = 30 °. Тоді | AB | = a = c * cos α = c * √ 3 / 2; | BC | = b = c * sin α = c / 2.

    ∟ α = 45 °. Тоді | AB | = | BC | = a = b = c * √ 2 / 2.

Зверніть увагу

Квадратні корені витягуються з позитивним знаком, тому що довжина не може бути негативною величиною. Це здається очевидним, але дана помилка дуже поширена, якщо вирішувати задачу на автоматі.

Корисні поради

Для знаходження катетів прямокутного трикутника зручно використовувати формули приведення: sin β = sin (90 ° — α) = cos α; cos β = cos (90 ° — α) = sin α.