Як знайти координати перетину прямих

Як знайти координати перетину прямих

Для розгляду двох пересічних прямих досить розгляду їх у площині, тому що дві пересічні прямі лежать в одній площині. Знаючи рівняння цих прямих, можна знайти координату їх точки перетину.

Вам знадобиться

рівняння прямих

Інструкція

  1. В декартових координатах загальне рівняння прямої виглідіт так: Ax + By + C = 0. Нехай дві прямі перетинаються. Рівняння першої прямої має вигляд Ax + By + C = 0, другий прямий — Dx + Ey + F = 0. Всі коефіцієнти (A, B, C, D, E, F) повинні бути задані.

    Щоб знайти точку перетину цих прямих потрібно вирішити систему цих двох лінійних рівнянь.
  2. Для вирішення перше рівняння зручно помножити на E, а друге — на B. В результаті рівняння матимуть вигляд: AEx + BEy + CE = 0, DBx + EBy + FB = 0. Після вирахування другого рівняння з першого, вийде: (AE-DB) x = FB-CE. Звідси, x = (FB-CE) / (AE-DB).

    За аналогією перше рівняння вихідної системи можна помножити на D, друге — на A, потім знову з першого відняти другого. В результаті, y = (CD-FA) / (AE-DB).

    Отримані значення x і y і будуть координатами точки перетину прямих.
  3. Рівняння прямих також можуть записуватися через кутовий коефіцієнт k, рівний тангенсу кута нахилу прямої. У цьому випадку рівняння прямої має вигляд y = kx + b. Нехай тепер рівняння першого прямій — y = k1 * x + b1, а другий прямий — y = k2 * x + b2.
  4. Якщо прирівняти праві частини цих двох рівнянь, то вийде: k1 * x + b1 = k2 * x + b2. Звідси легко отримати, що x = (b1-b2) / (k2-k1). Після підстановки цього значення x в будь-яке з рівнянь, вийде: y = (k2 * b1-k1 * b2) / (k2-k1). Значення x і y будуть задавати координати точки перетину прямих.

    У випадку, якщо дві прямі паралельні або сопадают, то вони не мають спільних точок або мають нескінченно багато спільних точок відповідно. У цих випадках k1 = k2, знаменники для координат точок перетину будуть звертатися в нуль, отже, система не буде мати класичного рішення.

    Система може мати тільки одне класичне рішення, що природно, оскільки дві неспівпадаючі і не паралельні один одному прямі можуть мати тільки одну точку перетину.