Як знайти коріння кубічного рівняння

Як знайти коріння кубічного рівняння

Для вирішення кубічних рівнянь (поліноміальних рівнянь третього ступеня) розроблено декілька методів. Найвідоміші з них засновані на застосуванні формул Вієта і Кардана. Але крім цих способів існує більш простий алгоритм знаходження коренів кубічного рівняння.

Інструкція

  1. Розгляньте кубічне рівняння виду Ax ³ + Bx ² + Cx + D = 0, де A ≠ 0. Знайдіть корінь рівняння методом підбору. Візьміть до уваги, що один з коренів рівняння третього ступеня завжди є дільником вільного члена.
  2. Знайдіть всі дільники коефіцієнта D, тобто всі цілі числа (позитивні та негативні), на які вільний член D ділиться без залишку. Підставте їх по черзі в вихідне рівняння на місце змінної x. Знайдіть те число x1, при якому рівняння звертається у вірне рівність. Воно й буде одним з коренів кубічного рівняння. Всього у кубічного рівняння три корені (як дійсні, так і комплексні).
  3. Розділіть многочлен на Ax ³ + Bx ² + Cx + D на двочлен (x-x1). У результаті ділення вийде квадратний многочлен ax ² + bx + c, залишок буде дорівнює нулю.
  4. Прирівняти отриманий многочлен до нуля: ax ² + bx + c = 0. Знайдіть корені цього квадратного рівняння за формулами x2 = (-b + √ (b ²-4ac)) / (2a), x3 = (-b-√ (b ²-4ac)) / (2a). Вони також будуть корінням вихідного кубічного рівняння.
  5. Розгляньте приклад. Нехай дано рівняння третього ступеня 2x ³-11x ² +12 x +9 = 0. A = 2 ≠ 0, а вільний член D = 9. Знайдіть всі дільники коефіцієнта D: 1, -1, 3, -3, 9, -9. Підставте ці подільники в рівняння замість невідомого x. Виходить, 2 × 1 ³ -11 × 1 ² +12 × 1 +9 = 12 ≠ 0; 2 × (-1) ³ -11 × (-1) ² +12 × (-1) +9 =- 16 ≠ 0; 2 × 3 ³ -11 × 3 ² +12 × 3 +9 = 0. Таким чином, один з коренів даного кубічного рівняння x1 = 3. Тепер розділіть обидві частини вихідного рівняння на двочлен (x-3). У результаті виходить квадратне рівняння: 2x ²-5x-3 = 0, тобто a = 2, b =- 5, c =- 3. Знайдіть його коріння: x2 = (5 + √ ((-5) ² -4 × 2 × (-3 )))/( 2 × 2) = 3, x3 = (5 — √ ((-5) ² -4 × 2 × (-3 )))/( 2 × 2) =- 0,5. Таким чином, кубічну рівняння 2x ³-11x ² +12 x +9 = 0 має дійсні корені x1 = x2 = 3 і x3 =- 0,5.

Джерела