Як знайти косинус кута між векторами

Як знайти косинус кута між векторами

Вектором в геометрії називають спрямований відрізок або впорядковану пару точок евклідового простору. Довжиною вектора — скаляр, рівний арифметичному квадратному кореню з суми квадратів координат (компонент) вектора.

Вам знадобиться

Базові знання з геометрії і алгебри.

Інструкція

  1. Косинус кута між векторами знаходять з їх скалярного твори. Сума твори відповідних координат вектора дорівнює добутку їх довжин на косинус кута між ними. Нехай дано два вектори: a (x1, y1) і b (x2, y2). Тоді скалярний твір можна записати у вигляді рівності: x1 * x2 + y1 * y2 = | a | * | b | * cos (U), де U — кут між векторами.

    Наприклад, координати вектора a (0, 3), а вектора b (3, 4).
  2. Висловлюючи з отриманого рівності cos (U) виходить, що cos (U) = (x1 * x2 + y1 * y2) / (| a | * | b |). У прикладі формула після підстановки відомих координат прийме вигляд: cos (U) = (0 * 3 + 3 * 4) / (| a | * | b |) або cos (U) = 12 / (| a | * | b | ).
  3. Довжина векторів знаходиться за формулами: | a | = (x1 ^ 2 + y1 ^ 2) ^ 1 / 2, | b | = (x2 ^ 2 + y2 ^ 2) ^ 1 / 2. Підставивши в якості координат векторів a (0, 3), b (3, 4) виходить, відповідно, | a | = 3, | b | = 5.
  4. Підставляючи отримані значення в формулу cos (U) = (x1 * x2 + y1 * y2) / (| a | * | b |), знайдіть відповідь. Користуючись знайденими довжинами векторів, отримаєте, що косинус кута між векторами a (0, 3), b (3, 4) дорівнює: cos (U) = 12/15.

Зверніть увагу

Якщо все пораховано правильно, косинус кута повинен бути менше одиниці. Також довжини векторів не можуть приймати негативні значення.

Корисні поради

Якщо довжина одного з векторів дорівнює нулю, значить це нульовий вектор, і тоді кут між ним та іншим вектором дорівнює 90 градусів.