Як знайти критичні точки функції

При побудові графіка функції необхідно визначити точки максимуму і мінімуму, проміжки монотонності функції. Щоб відповісти на ці питання насамперед потрібно знайти критичні точки, тобто такі точки області визначення функції, в яких похідна не існує або дорівнює нулю.

Вам знадобиться

Вміння знаходити похідну функції.

Інструкція

1. Знайдіть область визначення D (x) функції y = ƒ (x), так як всі дослідження функції проводяться в тому інтервалі, де функція має сенс. Якщо ви досліджуєте функцію на деякому проміжку (a; b), то перевірте, щоб цей інтервал належав області визначення D (x) функції ƒ (x). Перевірте функцію ƒ (x) на безперервність у цьому проміжку (a; b). Тобто lim (ƒ (x)) при x прагнуть до кожної точки x0 з інтервалу (a; b) повинен бути рівний ƒ (x0). Також функція ƒ (x) повинна бути диференційована на цьому інтервалі за винятком можливо кінцевого числа точок.
2. Обчисліть першу похідну ƒ ‘(x) функції ƒ (x). Для цього скористайтеся спеціальною таблицею похідних елементарних функцій і правилами диференціювання.
3. Знайдіть область визначення похідної ƒ ‘(x). Випишіть всі точки, які не потрапили в область визначення функції ƒ ‘(x). Відберіть з цього безлічі точок тільки ті значення, які належать області визначення D (x) функції ƒ (x). Це і будуть критичні точки функції ƒ (x).
4. Відшукайте всі рішення рівняння ƒ ‘(x) = 0. Виберіть з цих рішень тільки ті значення, які потрапляють в область визначення D (x) функції ƒ (x). Ці точки так само будуть критичними точками функції ƒ (x).
5. Розгляньте приклад. Нехай дана функція ƒ (x) = 2 / 3 × x ^ 3-2 × x ^ 2-1. Область визначення цієї функції вся числова пряма. Знайдіть першу похідну ƒ ‘(x) = (2 / 3 × x ^ 3-2 × x ^ 2-1)’ = (2 / 3 × x ^ 3) ‘- (2 × x ^ 2)’ = 2 × x ^ 2-4 × x. Похідна ƒ ‘(x) визначена при будь-якому значенні x. Тоді вирішите рівняння ƒ ‘(x) = 0. В даному випадку 2 × x ^ 2-4 × x = 2 × x × (x-2) = 0. Цьому рівнянню рівносильна система з двох рівнянь: 2 × x = 0, тобто x = 0, і x-2 = 0, тобто x = 2. Ці два рішення належать області визначення функції ƒ (x). Таким чином, у функції ƒ (x) = 2 / 3 × x ^ 3-2 × x ^ 2-1 існує дві критичні точки x = 0 і x = 2.

Зверніть увагу

Знак ^ позначає спорудження до рівня, знак ‘- взяття похідної.