Як знайти кут між діагоналями паралелограма

Як знайти кут між діагоналями паралелограма

Перш ніж шукати рішення поставленої задачі, слід вибрати найбільш підходящий метод її рішення. Геометричний метод вимагає тдополнітельних побудов та їх обгрунтування, тому в даному випадку найбільш зручним є використання векторної методики. Для цього використовуються спрямовані відрізки — вектори.

Вам знадобиться

- Папір;
- Ручка;
- Лінійка.

Інструкція

  1. Нехай паралелограм заданий векторами двох його сторін (інші дві попарно рівні) відповідно до рис. 1. Взагалі-то рівних векторів на площині як завгодно багато. Для цього потрібно рівність їх довжин (точніше модулів — | a |) і напряму, який задається нахилом до якої-небудь осі (у декартових координатах це вісь 0Х). Тому для зручності в задачах подібного типу вектори, як правило, задають їх радіус-векторами r = а, у яких початок завжди лежить на початку координат.
  2. Для знаходження кута між сторонами паралелограма знадобиться обчислити геометричну суму і різницю векторів, а також їх скалярний твір (a, b). За правилом паралелограма геометрична сума векторів a і b дорівнює деякому вектору з = а + b, який побудований і лежить на діагоналі паралелограма AD. Різниця a і b — вектор d = ba, побудований на другий діагоналі BD. Якщо вектори задані координатами, а кут між ними становить ф, тоді їх скалярний твір — це число, рівне добутку модулів векторів і cosф (див. рис1): (a, b) = | a | | b | cos ф
  3. В декартових координатах якщо а = {x1, y1} і b = {x2, y2}, то (a, b) = x1y2 + x2y1. При цьому скалярний квадрат вектора (а, а) = | a | ^ 2 = x1 ^ 2 + x2 ^ 2. Для вектора b — аналогічно. Тоді: | a | | b | cos ф = x1y2 + x2y1. Отже cosф = (x1y2 + x2y1) / (| a | | b |).

    Таким чином алгоритм вирішення задачі полягає в наступному:

    1. Знаходження координат векторів діагоналей паралелограма як векторів суми і різниці векторів його сторін з = а + b і d = ba. При цьому відповідні координати a і b просто складаються або віднімаються. c = a + b = {x3, y3} = {x1 + x2, y1 + y2},

    d = b-a = {x4, y4} = {x2-x1, y2-y1}.

    2. Знаходження косинуса кута між векторами діагоналей (назвемо його ФД) за наведеним загальним правилом cosфд = (x3y3 + x4y4) / (| c | | d |)
  4. Приклад. Знайти кут між діагоналями паралелограма, заданого векторами своїх сторін a = {1, 1} і b = {1, 4}.

    Рішення. Відповідно до наведеного алгоритму вам необхідно знайти вектори діагоналей c = {1 +1, 1 +4} = {2, 5} і d = {1-1, 4-1} = {0, 3}.

    Тепер обчисліть cosфд = (0 +15) / (sqrt (4 +25) sqrt9) = 15/3sqrt29 = 0,92.

    Відповідь: ФД = arcos (0,92).