Як знайти кут між двома векторами

Як знайти кут між двома векторами

Кут між двома векторами, що виходять з однієї точки, це найкоротший кут, на який необхідно повернути один з векторів навколо свого початку до положення другого вектора. Визначити градусну міру цього кута можна, якщо відомі координати векторів.

Інструкція

  1. Нехай на площині задані два ненульових вектора, відкладені від однієї точки: вектор A з координатами (x1, y1) і вектор B з координатами (x2, y2). Кут між ними позначений як θ. Щоб знайти градусну міру кута θ необхідно скористатися визначенням скалярного твору.
  2. Скалярним добутком двох ненульових векторів називається число, рівне добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними, тобто (A, B) = | A | * | B | * cos (θ). Тепер потрібно висловити з цього запису косинус кута: cos (θ) = (A, B) / (| A | * | B |).
  3. Скалярний твір можна знайти також за формулою (A, B) = x1 * x2 + y1 * y2, так як скалярний добуток двох ненульових векторів дорівнює сумі добутків відповідних координат цих векторів. Якщо скалярний твір ненульових векторів дорівнює нулю, то вектори є перпендикулярними (кут між ними дорівнює 90 градусів) і подальші обчислення можна не проводити. Якщо скалярний добуток двох векторів позитивно, то кут між цими векторами гострий, а якщо негативно, то кут тупий.
  4. Тепер порахуйте довжини векторів A і B за формулами: | A | = √ (x1 ² + y1 ²), | B | = √ (x2 ² + y2 ²). Довжина вектора обчислюється як квадратний корінь з суми квадратів його координат.
  5. Знайдені значення скалярного твори і довжин векторів підставте в отриману в кроці 2 формулу для знаходження косинуса кута, тобто cos (θ) = (x1 * x2 + y1 * y2) / (√ (x1 ² + y1 ²) + √ (x2 ² + y2 ²) ). Тепер, знаючи значення косинуса, щоб знайти градусну міру кута між векторами потрібно скористатися таблицею Брадиса або взяти з цього виразу арккосинус: θ = arccos (cos (θ)).
  6. Якщо вектори A і B задані в тривимірному просторі і мають координати (x1, y1, z1) та (x2, y2, z2) відповідно, то при знаходженні косинуса кута додається ще одна координата. У цьому випадку косинус кута дорівнює: cos (θ) = (x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2) / (√ (x1 ² + y1 ² + z1 ²) + √ (x2 ² + y2 ² + z2 ²)).

Корисні поради

Якщо два вектори відкладені не від однієї точки, то для знаходження кута між ними паралельним перенесенням потрібно поєднати початку цих векторів.

Кут між двома векторами не може бути більше 180 градусів.