Як знайти кут між медіаною і стороною

Як знайти кут між медіаною і стороною

Завдання по знаходженню кута багатокутника при відомих кількох його параметрів достатньо проста. У разі визначення кута між медіаною трикутника і однією зі сторін зручно використовувати векторний спосіб. Для того щоб задати трикутник, достатньо двох векторів його сторін.

Інструкція

  1. На рис. 1 трикутник добудований до відповідного йому паралелограма. При цьому відомо, що в точці перетину діагоналей паралелограма вони діляться навпіл. Тому АТ є медіаною трикутника АВС, опущена з А на сторону НД

    З цього можна зробити висновок, що необхідно знайти кут φ між стороною АС трикутника і медіаною АТ. Такий же кут, відповідно до рис. 1, є між вектором а і вектором d, відповідним діагоналі паралелограма AD. За правилом паралелограма вектор d дорівнює геометричній сумі векторів a і b, d = a + b.
  2. Залишається знайти спосіб визначення кута φ. Для цього слід використовувати скалярний добуток векторів. Скалярний твір зручніше за все визначити на основі тих же векторів a і d, яке визначається за формулою (a, d) = | a | | d | cosφ. Тут φ — кут між векторами a і d. Оскільки скалярний добуток векторів, заданих координатами, визначається виразом:

    (A (ax, ay), d (dx, dy)) = axdx + aydy, | a | ^ 2 = ax ^ 2 + ay ^ 2, | d | ^ 2 = dx ^ 2 + dy ^ 2, то

     cosφ = (axdx + aydy) / (sqrt (ax ^ 2 + ay ^ 2) sqrt (dx ^ 2 + dy ^ 2)). Крім того, сума векторів у координатній формі визначається виразом: d (dx, dy) = a (ax, ay) + b (bx, by) = {ax + bx, ay + by}, тобто dx = ax + bx, dy = ay + by.
  3. Приклад. Трикутник АВС заданий векторами a (1,1) і b (2, 5) відповідно до рис.1. Знайти кут φ між його медіаною АТ і стороною трикутника АС.

    Рішення. Як вже було показано вище, для цього достатньо знайти кут між векторами а і d.

    Цей кут задається його косинусом і обчислюється у відповідності з наступним тотожністю

    cosφ = (axdx + aydy) / (sqrt (ax ^ 2 + ay ^ 2) sqrt (dx ^ 2 + dy ^ 2)).

    1. d (dx, dy) = {1 +2, 1 +5} = d (3, 6).

    2. cosφ = (3 +6) / (sqrt (1 +1) sqrt (9 +36)) = 9 / (3sqrt (10)) = 3/sqrt (10).

                                                   φ = arcos (3/sqrt (10)).