Як знайти кут між ребром і гранню

Як знайти кут між ребром і гранню

Перш ніж шукати рішення поставленої задачі, слід визначити з ребром і гранню який фігури ви маєте справу. Звичайно мова йде про будь-який многограннике. Будь-яка сторона багатогранника — багатокутник, кожен з яких завжди можна розбити на трикутники. У загальному випадку буде достатньо розгляду тетраедра. При цьому абсолютно не важливо який трикутник знаходиться в основі і яке конкретне розташування заданого ребра. Тому рішення задачі зводиться до пошуку кута між прямою і площиною, що містить дану грань.

Вам знадобиться

- Папір;
- Ручка;
- Лінійка.

Інструкція

  1. На малюнку 1 наочно проілюстровано, що необхідно шукати кут між прямою ребра s та її проекцією ф2. Однак для цього довелося б шукати ще й пряму, яка містить цю проекцію. Але завдання можна трохи спростити — знайти кут ф1 між нормаллю до площини грані і спрямовуючим вектором прямої ребра s. Тоді стає очевидно, що ф2 = п / 2 — ф1, тобто cosф1 = sinф2.
  2. Для чисельного рішення задачі необхідно обчислити скалярний твір векторів (a, b) ((a, b) = | a | | b | cosф).

    В декартових координатах якщо а = {x1, y1, z1} і b = {x2, y2, z2}, то (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. При цьому скалярний квадрат вектора (а, а) = | a | ^ 2 = x1 ^ 2 + y1 ^ 2 + z1 ^ 2. Для вектора b — аналогічно. Тому | a | | b | cos ф = x1х2 + у1y2 + z1z2. Отже,

    cosф = (x1x2 + y1y2 + z1z2) / (| a | | b |).
  3. Приклад. Нехай положення ребра описується рівняннями канонічними прямий s: (x-x0) / m = (y-y0) / n = (z-z0) / p, (x0, y0, z0) відома точка прямої (наприклад одна з вершин ребра) , вектор s = {m, n, p} — направляючий вектор s. Нехай площину межі б задана загальним рівнянням площини Ax + Вy + Cz + D = 0. Тоді її нормаль n = {A, B, C}.

    Для отримання однозначного рішення задачі буде досить задати вектори n і s.

    Далі знайдіть cosф1 = (mA + nB + pC) / [(m ^ 2 + n ^ 2 + p ^ 2) (A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2)] ^ (1 / 2). Враховуючи зазначене вище співвідношення, cosф1 = sinф2, відповідь можна записати у вигляді арксинуса: ф2 = arcsin (cosф1).
  4. Якщо s = {3, 2, -1}, n = {2, 0,1}, то косинус кута меду ними

      cosф1 = (6-1) / [(9 +4 +1) (5 +1)] ^ (1 / 2)] = 5 / [(14) 6)] ^ (1 / 2) = 5 / 2 ( 21) ^ (1 / 2) = 11,45.

    Відповідь: ф2 = arcsin (11,45).