Як знайти кут між сторонами

Як знайти кут між сторонами

Рішення завдання з відшукання кута між сторін деякої геометричної фігури слід починати з відповіді на питання: з якою фігурою ви маєте справу, тобто визначитися багатогранник перед вами чи багатокутник. У стереометрії розглядається «плоский випадок» (багатокутник). Кожен багатокутник можна розбити на певну кількість трикутників. Відповідно, рішення цього завдання можна звести до відшукання кута між сторонами одного з трикутників, що становлять задану вам фігуру.

Інструкція

  1. Для завдання кожної зі сторін необхідно знати її довжину і ще один певний параметр, який буде задавати положення трикутника на площині. Для цього, як правило, використовуються спрямовані відрізки — вектори.

    Треба зазначити, що на площині може бути нескінченно багато рівних векторів. Головне, щоб вони мали рівний довжиною, точніше модулем | a |, а також напрямком, який задається нахилом до якої-небудь осі (у декартових координатах це вісь 0Х). Тому для зручності вектори прийнято задавати за допомогою радіус-векторів r = а, початок яких розташовано в точці початку координат.
  2. Для вирішення поставленого питання, необхідно визначити скалярний добуток векторів а і b (позначається (a, b)). Якщо кут між векторами ф, то, за визначенням, скалярний добуток двох вітрів — це число, рівне добутку модулів:

                                                       (A, b) = | a | | b | cos ф (див. рис1).

    В декартових координатах, якщо а = {x1, y1} і b = {x2, y2}, то (a, b) = x1у2 + х2y1. При цьому скалярний квадрат вектора (а, а) = | a | ^ 2 = x1 ^ 2 + x2 ^ 2. Для вектора b — аналогічно. Отже, | a | | b | cos ф = x1у2 + х2y1. Отже, cos ф = (x1у2 + х2y1) / (| a | | b |). Дана формула є алгоритмом вирішення поставленого завдання в «плоскому випадку».
  3. Приклад 1. Знайти кут між сторонами трикутника, заданими векторами a = {3, 5} і b = {-1, 4}.

    Виходячи з теоретичних викладок, наведених вище, можна обчислити необхідний кут. cos ф = (x1y2 + x2y1) / (| a | | b |)=(- 3 +20) / (9 +25) ^ 1 / 2 (1 +16) ^ 1 / 2 = 18 / 6 (17) ^ 1 / 2 = 6/sqrt (17) = 1,4552

    Відповідь: ф = arccos (+1,4552).
  4. Тепер слід розглянути випадок об’ємної фігури (багатогранника). В даному варіанті виконання завдання кут меду сторонами сприймається, як кут між ребрами бічній грані фігури. Проте, строго кажучи, підстава так само є межею багатогранника. Тоді рішення поставленої задачі зводиться до розгляду першого «плоского випадку». Але вектори будуть задаватися вже трьома координатами.

    Часто без уваги залишається варіант задачі, коли сторони взагалі не перетинаються, тобто лежать на перехресних прямих. В даному випадку поняття кута між ними також визначено. При векторному завданні відрізків прямих, спосіб визначення кута меду ними єдиний — скалярний твір.
  5. Приклад 2. Знайти кут ф між сторонами довільного багатогранника, заданими векторами a = {3, -5, -2} і b = {3, -4, 6}. Як щойно з’ясовано, той кут визначаться його косинусом, причому

    cos ф = (x1х2

                                                 Відповідь: ф = arccos (+0,1664)