Як знайти кут, якщо дано вершини трикутника

Як знайти кут, якщо дано вершини трикутника

Трикутник — це найпростіший багатокутник, для знаходження величин кутів якого з відомих параметрах (длинам сторін, радіусів вписаних і описаних кіл та ін) існує кілька формул. Однак часто зустрічаються задачі, що вимагають розрахунку кутів у вершинах трикутника, який поміщений в деяку просторову систему координат.

Інструкція

  1. Якщо трикутник заданий координатами всіх трьох своїх вершин (X ₁, Y ₁, Z ₁, X ₂, Y ₂, Z ₂ і X ₃, Y ₃, Z ₃), то почніть з обчислення довжин сторін, що утворюють той кут трикутника (α), величина якого вас цікавить. Якщо будь-яку з них добудувати до прямокутного трикутника, в якому сторона буде гіпотенузою, а її проекції на дві осі координат — катетами, то її довжину можна знайти по теоремі Піфагора. Довжини проекцій будуть рівні різниці координат початку і кінця сторони (тобто двох вершин трикутника) за відповідною осі, а значить, довжину можна виразити як квадратний корінь з суми квадратів різниць таких координатних пар. Для тривимірного простору відповідні формули двох сторін трикутника можна записати так: √ ((X ₁-X ₂) ² + (Y ₁-Y ₂) ² + (Z ₁-Z ₂) ²) і √ ((X ₁-X ₃) ² + (Y ₁-Y ₃) ² + (Z ₁-Z ₃) ²).
  2. Використовуйте дві формули скалярного твори векторів — в даному випадку векторами із загальним початком є ​​сторони трикутника, що утворюють обчислюваний кут. Одна з формул виражає скалярний твір через їх довжини, отримані вами на попередньому кроці, і косинус кута між ними: √ ((X ₁-X ₂) ² + (Y ₁-Y ₂) ² + (Z ₁-Z ₂) ²) * √ ((X ₁ -X ₃) ² + (Y ₁-Y ₃) ² + (Z ₁-Z ₃) ²) * cos (α). Інша — через суму добутків координат за відповідними осях: X ₁ * X ₃ + Y ₁ * Y ₃ + Z ₁ * Z ₃.
  3. Прирівняти ці дві формули і висловіть з рівності косинус шуканого кута: cos (α) = (X ₁ * X ₃ + Y ₁ * Y ₃ + Z ₁ * Z ₃) / (√ ((X ₁-X ₂) ² + (Y ₁-Y ₂) ² + (Z ₁ -Z ₂) ²) * √ ((X ₁-X ₃) ² + (Y ₁-Y ₃) ² + (Z ₁-Z ₃ )²)). Тригонометрична функція, що визначає величину кута в градусах за значенням його косинуса, називається арккосинус — використовуйте її для запису остаточного варіанту формули знаходження кута по тривимірних координатах трикутника: α = arccos ((X ₁ * X ₃ + Y ₁ * Y ₃ + Z ₁ * Z ₃) / (√ ((X ₁-X ₂) ² + (Y ₁-Y ₂) ² + (Z ₁-Z ₂) ²) * √ ((X ₁-X ₃) ² + (Y ₁-Y ₃) ² + (Z ₁-Z ₃ )²))).