Як знайти кути чотирикутника

Як знайти кути чотирикутника

Для вирішення цієї задачі методами векторної алгебри, вам необхідно знати такі поняття: геометрична векторна сума і скалярний добуток векторів, а також слід пам’ятати властивість суми внутрішніх кутів чотирикутника.

Вам знадобиться

- Папір;
- Ручка;
- Лінійка.

Інструкція

  1. Вектор — це спрямований відрізок, тобто величина, що вважається заданою повністю, якщо задана його довжина і напрям (кут) до заданої осі. Положення вектора більше нічим не обмежена. Рівними вважаються два вектори, що володіють однаковими довжинами і одним напрямком. Тому при використанні координат вектори зображають радіус-векторами точок його кінця (початок розташовується на початку координат).
  2. За визначенням: результуючим вектором геометричної суми векторів називається вектор, що виходить з початку першого і має кінець у кінці другого, за умови, що кінець першого, суміщений з початком другого. Це можна продовжувати і далі, будуючи ланцюжок аналогічно розташованих векторів.

    Зобразіть заданий чотирикутник ABCD векторами a, b, c і d відповідно рис. 1. Очевидно, що при такому розташуванні результуючий вектор d = a + b + c.
  3. Скалярний добуток в даному випадку зручніше за все визначити на основі векторів a і d. Скалярний твір, що позначається (a, d) = | a | | d | cosф1. Тут ф1 — кут між векторами a і d.

    Скалярний добуток векторів, заданих координатами, визначається наступними виразом:

    (A (ax, ay), d (dx, dy)) = axdx + aydy, | a | ^ 2 = ax ^ 2 + ay ^ 2, | d | ^ 2 = dx ^ 2 + dy ^ 2, тоді

      cos Ф1 = (axdx + aydy) / (sqrt (ax ^ 2 + ay ^ 2) sqrt (dx ^ 2 + dy ^ 2)).
  4. Основні поняття векторної алгебри в прив’язці до поставленого завдання, призводять до того, що для однозначної постановки цього завдання досить завдання трьох векторів, розташованих, припустимо, на AB, BC, і CD, тобто a, b, c. Можна звичайно відразу задати координати точок A, B, C, D, але цей спосіб є надлишковим (4 параметри замість 3-х).
  5. Приклад. Чотирикутник ABCD заданий векторами його сторін AB, BC, CD a (1,0), b (1,1), c (-1,2). Знайти кути між його сторонами.

    Рішення. У зв’язку з викладеним вище, 4-й вектор (для AD)

    d (dx, dy) = a + b + c = {ax + bx + cx, ay + by + cy} = {1,3}. Слідуючи методиці обчислення кута між векторами а

    cosф1 = (axdx + aydy) / (sqrt (ax ^ 2 + ay ^ 2) sqrt (dx ^ 2 + dy ^ 2)) = 1/sqrt (10), ф1 = arcos (1/sqrt (10)).

    -Cosф2 = (axbx + ayby) / (sqrt (ax ^ 2 + ay ^ 2) sqrt (bx ^ 2 + by ^ 2)) = 1/sqrt2, ф2 = arcos (-1/sqrt2), ф2 = 3п / 4.

    -Cosф3 = (bxcx + bycy) / (sqrt (bx ^ 2 + by ^ 2) sqrt (cx ^ 2 + cy ^ 2)) = 1 / (sqrt2sqrt5), ф3 = arcos (-1/sqrt (10)) = п-ф1.

    Відповідно до зауваженням 2 — Ф4 = 2п-ф1 — ф2-ф3 = п / 4.

Зверніть увагу

Зауваження 1. У визначенні скалярного твору використовується кут між векторами. Тут, наприклад, ф2 — це кут між АВ і ВС, а між a і b цей кут п-ф2. сos (п-ф2) =- сosф2. Аналогічно для ф3.

Зауваження 2. Відомо, що сума кутів чотирикутника дорівнює 2п. Тому Ф4 = 2п-ф1 — ф2-ф3.