Як знайти кути трикутника за довжинами його сторін

Як знайти кути трикутника за довжинами його сторін

Є кілька варіантів знаходження величин всіх кутів в трикутнику, якщо відомі довжини трьох його сторін. Один із способів полягає у використанні двох різних формул обчислення площі трикутника. Для спрощення розрахунків можна також застосувати теорему синусів і теорему про суму кутів трикутника.

Інструкція

  1. Скористайтеся, наприклад, двома формулами обчислення площі трикутника, в одній з яких задіяні тільки три його відомих сторони (формула Герона), а в іншій — дві сторони і синус кута між ними. Використовуючи в другій формулі різні пари сторін, ви зможете визначити величини кожного з кутів трикутника.
  2. Розв’яжіть задачу в загальному вигляді. Формула Герона визначає площу трикутника, як квадратний корінь з добутку напівпериметр (половини від суми всіх сторін) на різниці між напівпериметр і кожної зі сторін. Якщо замінити периметр сумою сторін, то формулу можна записати в такому вигляді: S = 0,25 * √ (a + b + c) * (b + ca) * (a + cb) * (a + bc).

    C іншого боку площа трикутника можна виразити як половину добутку двох його сторін на синус кута між ними. Наприклад, для сторін a і b з кутом γ між ними цю формулу можна записати так: S = a * b * sin (γ). Замініть ліву частину рівності формулою Герона: 0,25 * √ (a + b + c) * (b + ca) * (a + cb) * (a + bc) = a * b * sin (γ). Виведіть з цієї рівності формулу для синуса кута γ: sin (γ) = 0,25 * √ (a + b + c) * (b + ca) * (a + cb) * (a + bc) / (a ​​* b *)
  3. Аналогічні формули для двох інших кутів:

    sin (α) = 0,25 * √ (a + b + c) * (b + ca) * (a + cb) * (a + bc) / (b * c *)

    sin (β) = 0,25 * √ (a + b + c) * (b + ca) * (a + cb) * (a + bc) / (a ​​* c *)

    Замість цих формул можна скористатися теоремою синусів, з якої випливає, що співвідношення сторін і синусів протилежних їм кутів в трикутнику рівні. Тобто, обчисливши в попередньому кроці синус одного з кутів, можна знайти синус іншого кутка за простішою формулою: sin (α) = sin (γ) * a / c. А виходячи з того, що сума кутів в трикутнику дорівнює 180 °, третій кут можна розрахувати ще простіше: β = 180 °-α-γ.
  4. Використовуйте, наприклад, стандартний калькулятор Windows для знаходження величин кутів в градусах після того, як за формулами розрахуєте значення синусів цих кутів. Щоб це зробити, застосовуйте тригонометричну функцію, зворотну синусу — арксинус.