Як знайти кути трикутника за трьома його сторонам

Як знайти кути трикутника за трьома його сторонам

Трикутником називають геометричну фігуру з трьома сторонами і трьома кутами. Знаходження всіх цих шести елементів трикутника є одним із завдань математики. Якщо відомі довжини сторін трикутника, то за допомогою тригонометричних функцій можна обчислити кути між сторонами.

Вам знадобиться

базове знання тригонометрії

Інструкція

  1. Нехай заданий трикутник зі сторонами a, b та с. При цьому сума довжин двох будь-яких сторін трикутника повинна бути більше довжини третьої сторони, тобто a + b> c, b + c> a і a + c> b. І необхідно знайти градусну міру всіх кутів цього трикутника. Нехай кут між сторонами a і b позначений як α, кут між b і c як β, а кут між c і a як γ.
  2. Теорема косинусів звучить так: квадрат довжини сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших довжин його сторін мінус подвоєний добуток цих довжин сторін на косинус кута між ними. Тобто складіть три рівності: a ² = b ² + c ² -2 × b × c × cos (β); b ² = a ² + c ² -2 × a × c × cos (γ); c ² = a ² + b ² -2 × a × b × cos (α).
  3. З отриманих рівностей висловіть косинуси кутів: cos (β) = (b ² + c ²-a ²) ÷ (2 × b × c); cos (γ) = (a ² + c ²-b ²) ÷ (2 × a × c); cos (α) = (a ² + b ²-c ²) ÷ (2 × a × b). Тепер, коли відомі косинуси кутів трикутника, щоб знайти самі кути скористайтеся таблицями Брадіса або візьміть з цих висловів арккосинус: β = arccos (cos (β)); γ = arccos (cos (γ)); α = arccos (cos (α) ).
  4. Наприклад, нехай a = 3, b = 7, c = 6. Тоді cos (α) = (3 ² +7 ² -6 ²) ÷ (2 × 3 × 7) = 11/21 і α ≈ 58,4 °; cos (β) = (7 ² +6 ² -3 ²) ÷ (2 × 7 × 6) = 19/21 і β ≈ 25,2 °; cos (γ) = (3 ² +6 ² -7 ²) ÷ (2 × 3 × 6) =- 1 / 9 і γ ≈ 96,4 °.
  5. Це ж завдання можна вирішити іншим способом через площу трикутника. Спочатку знайдіть напівпериметр трикутника за формулою p = (a + b + c) ÷ 2. Потім порахуйте площа трикутника за формулою Герона S = √ (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)), тобто площа трикутника дорівнює квадратному кореню з добутку напівпериметр трикутника і різниць напівпериметр і кожної із сторін трикутника.
  6. З іншого боку, площа трикутника дорівнює половині твори довжин двох сторін на синус кута між ними. Виходить S = 0,5 × a × b × sin (α) = 0,5 × b × c × sin (β) = 0,5 × a × c × sin (γ). Тепер з цієї формули висловіть синуси кутів і підставте отримане в 5 кроці значення площі трикутника: sin (α) = 2 × S ÷ (a × b); sin (β) = 2 × S ÷ (b × c); sin (γ ) = 2 × S ÷ (a × c). Таким чином, знаючи синуси кутів, щоб знайти градусну міру, використовуйте таблиці Брадіса або порахуйте арксинус цих виразів: β = arccsin (sin (β)); γ = arcsin (sin (γ)); α = arcsin (sin (α)) .
  7. Наприклад, нехай дано такий самий трикутник зі сторонами a = 3, b = 7, c = 6. Напівпериметр дорівнює p = (3 +7 +6) ÷ 2 = 8, площа S = √ (8 × (8-3) × (8-7) × (8-6)) = 4 √ 5. Тоді sin (α) = 2 × 4 √ 5 ÷ (3 × 7) = 8 √ 5 / 21 та α ≈ 58,4 °; sin (β) = 2 × 4 √ 5 ÷ (7 × 6) = 4 √ 5 / 21 та β ≈ 25,2 °; sin (γ) = 2 × 4 √ 5 ÷ (3 × 6) = 4 √ 5 / 9 і γ ≈ 96,4 °.

Корисні поради

Сума кутів трикутника завжди дорівнює 180 градусів. Тому можна обчислити тільки два кути трикутника, а третій отримати шляхом вирахування з 180 суми цих двох кутів.