Як знайти квадратний корінь з числа

Як знайти квадратний корінь з числа

Квадратним коренем з неотрицательного числа a називається таке невід’ємне число b, що b ^ 2 = a. Витяг квадратного кореня — складніше завдання, ніж зведення в квадрат, але для її вирішення існує безліч методів.

Інструкція

  1. Якщо b — квадратний корінь з a, то, взагалі кажучи, (-b) теж може вважатися таким, оскільки (-b) ^ 2 = b ^ 2. Однак на практиці квадратним коренем прийнято вважати тільки невід’ємне число.
  2. Для приблизної оцінки величини квадратного кореня можна використовувати таблицю квадратів. Визначивши, між якими значеннями квадратів знаходиться задане число, тим самим визначають межі, між якими знаходиться величина квадратного кореня.

    Наприклад, число 138 менше, ніж 144 = 12 ^ 2, але більше, ніж 121 = 11 ^ 2. Отже, квадратний корінь з нього повинен лежати між числами 11 і 12. Наближене значення 11,7 при зведенні в квадрат дає результат 136,89, а наближене значення 11,8 — число 139,24.
  3. Якщо таблиці квадратів під рукою немає, або задане число виходить за її межі, можна скористатися теоремою, яка говорить, що сума непарних чисел від 1 до 2n +1 завжди є повним квадратом числа n + 1. Дійсно, 1 ^ 2 = 1, а для будь-якого n завжди n ^ 2 + 2n + 1 = (n + 1) ^ 2 за відомою формулою квадрата суми.

    Таким чином, якщо послідовно вичитати із заданого числа всі непарні числа, починаючи з одиниці, поки результат віднімання не стане нульовим або не зробиться менше чергового від’ємника, то кількість кроків цієї процедури буде одно цілої частини квадратного кореня. Якщо знадобиться подальше уточнення, то його можна зробити простим підбором, як у попередньому варіанті.
  4. У деяких випадках буває потрібна зовсім груба оцінка величини квадратного кореня з дуже великого числа. Така оцінка може бути побудована, виходячи з кількості цифр у заданому числі.

    Якщо ця кількість непарній, тобто одно деякого 2n, то корінь приблизно дорівнює 6 * 10 ^ n.

    Якщо ж кількість цифр парне, то за приблизну оцінку можна прийняти число 2 * 10 ^ n.
  5. Для більш точного обчислення квадратного кореня можна застосувати ітеративний метод, відомий як формула Герона.

    Нехай потрібно витягти корінь з числа a. Візьмемо початкове x0 = a. Подальші кроки обчислюються за формулою:

    x (n +1) = (xn + a / xn) / 2. Якщо n → ∞, то xn → √ a.

    Оскільки при обчисленнях за цією формулою x1 = (a + 1) / 2, то має сенс відразу почати саме з цього значення.