Як знайти логарифм

Як знайти логарифм

Логарифмом числа x по підставі a називається таке число y, що a ^ y = x. Оскільки логарифми полегшують дуже багато практичних обчислення, важливо вміти ними користуватися.

Інструкція

  1. Логарифм числа x по підставі a будемо позначати loga (x). Наприклад, log2 (8) — логарифм числа 8 по підставі 2. Він дорівнює 3, тому що 2 ^ 3 = 8.
  2. Логарифм визначений тільки для позитивних чисел. Негативні числа і нуль не мають логарифмів незалежно від основи. При цьому сам логарифм може бути будь-яким числом.
  3. Підставою логарифма може служити будь-яке позитивне число, крім одиниці. Однак на практиці найчастіше використовуються дві підстави. Логарифми по підставі 10 називаються десятковими і позначаються lg (x). Десяткові логарифми найчастіше зустрічаються в практичних обчисленнях.
  4. Друге популярне підставу для логарифмів — ірраціональне трансцендентне число e = 2,71828 … Логарифм по підставі e називається натуральним і позначається ln (x). Опції e ^ x і ln (x) мають особливими властивостями, важливими для диференціального й інтегрального числення, тому натуральні логарифми частіше використовуються в математичному аналізі.
  5. Логарифм добутку двох чисел дорівнює сумі логарифмів цих чисел з тієї ж підстави: loga (x * y) = loga (x) + loga (y). Наприклад, log2 (256) = log2 (32) + log2 (8) = 8.

    Логарифм частки двох чисел дорівнює різниці їх логарифмів: loga (x / y) = loga (x) — loga (y).
  6. Щоб знайти логарифм числа, зведеного в ступінь, треба логарифм самого числа помножити на показник ступеня: loga (x ^ n) = n * loga (x). При цьому показник ступеня може бути будь-яким числом — позитивним, негативним, нулем, цілим або дробовим.

    Оскільки x ^ 0 = 1 для будь-якого x, то loga (1) = 0 для будь-якого a.
  7. Логарифм замінює множення складанням, зведення в ступінь множенням, а витяг кореня поділом. Тому за відсутності обчислювальної техніки логарифмічні таблиці помітно спрощують розрахунки.

    Щоб знайти логарифм числа, що не входить в таблицю, його потрібно представити у вигляді добутку двох або більше чисел, логарифми яких є в таблиці, і знайти остаточний результат, склавши ці логарифми.
  8. Досить простий спосіб обчислити натуральний логарифм — скористатися розкладанням цієї функції в степеневий ряд:

    ln (1 + x) = x — (x ^ 2) / 2 + (x ^ 3) / 3 — (x ^ 4) / 4 + … + ((-1) ^ (n + 1 ))*(( x ^ n) / n).

    Цей ряд дає значення ln (1 + x) для -1
  9. Для практичних обчислень іноді буває зручно перейти від натуральних логарифмів до десятковим. Будь-який перехід від однієї підстави логарифмів до іншого відбувається за формулою:

    logb (x) = loga (x) / loga (b).

    Таким чином, log10 (x) = ln (x) / ln (10).