Як знайти максимальне значення функції

Як знайти максимальне значення функції

Нехай дана деяка функція, задана аналітично, тобто виразом вигляду f (x). Потрібно дослідити функцію і обчислити максимальне значення, яке вона приймає на заданому відрізку [a, b].

Інструкція

  1. Перш за все потрібно встановити, чи визначено задана функція на всьому відрізку [a, b] і якщо у неї є точки розриву, то якого роду ці розриви. Наприклад, функція f (x) = 1 / x зовсім не має ні максимального, ні мінімального значення на відрізку [-1, 1], оскільки в точці x = 0 прагне до плюс нескінченності справа і до мінус нескінченності зліва.
  2. Якщо задана функція — лінійна, тобто задана рівнянням виду y = kx + b, де k ≠ 0, то вона на всій своїй області визначення монотонно зростає, якщо k> 0, і монотонно убуває, якщо k 0; і f (a) , якщо k
  3. Наступний крок — дослідження функції на екстремуми. Навіть якщо встановлено, що f (a)> f (b) (або навпаки), функція може досягати великих значень в точці максимуму.
  4. Щоб знайти точку максимуму, необхідно вдатися до допомоги похідної. Відомо, що якщо в точці x0 функція f (x) має екстремум (тобто максимум, мінімум або стаціонарну точку), то її похідна f ‘(x) в цій точці звертається в нуль: f’ (x0) = 0.

    Для визначення, який з трьох видів екстремуму знаходиться у виявленій точці, потрібно вивчати поведінку похідної в її околицях. Якщо вона змінює знак з плюса на мінус, тобто монотонно убуває, то в знайденої точці початкова функція має максимум. Якщо похідна змінює знак з мінуса на плюс, тобто монотонно зростає, то в знайденої точці початкова функція має мінімум. Якщо ж, нарешті, похідна не змінює знака, то x0 — це стаціонарна точка для вихідної функції.
  5. У тих випадках, коли обчислити знаки похідної в околицях знайденої точки складно, можна скористатися другою похідною f»(x) і визначити знак цієї функції в точці x0:

    - Якщо f»(x0)> 0, то знайдена точка мінімуму;

    - Якщо f»(x0)

    - Нарешті, якщо f»(x0) = 0, то знайдена стаціонарна крапка.
  6. Для остаточного рішення задачі необхідно вибрати максимальне з значень функції f (x) на кінцях відрізка і у всіх знайдених точках максимуму.