Як знайти матрицю, зворотну даної

Як знайти матрицю, зворотну даної

Зворотній матриця позначаться А ^ (-1). Вона існує для кожної невиродженої квадратної матриці А (визначник | A | не дорівнює нулю). Визначальне рівність — (А ^ (-1)) А = А А ^ (-1) = Е, де Е — одинична матриця.

Вам знадобиться

- Папір;
- Ручка.

Інструкція

  1. Метод Гаусса полягає в наступному. Спочатку записується дана за умовою матриця А. Справа до неї додається розширення, що складається з одиничної матриці. Далі виконується послідовне еквівалентне перетворення рядків А. Дія здійснюється до тих пір, поки зліва не утворюється одинична матриця. Матриця, що з’явилася на місці розширеної матриці (праворуч) і буде А ^ (-1). При цьому варто дотримуватися наступної стратегії: спершу необхідно домогтися нулів знизу головної діагоналі, а потім зверху.

    Даний алгоритм простий при написанні, але на практиці до нього необхідно звикнути. Проте в наслідок ви зможете виконувати більшу частину дій в умі. Тому у прикладі всі дії будуть виконуватися вкрай докладно (аж до окремого виписування рядків).
  2. Приклад. Дана матриця (див. рис.1). Для наочності в шукану матрицю відразу ж додано її розширення. Знайти матрицю, зворотну даної.

    Рішення. Всі елементи першого рядка помножте на 2. Отримайте: (2 0 -6 2 0 0). Отриманий результат необхідно відняти з усіх відповідних елементів другого рядка. У результаті у вас повинні бути такі значення: (0 3 6 -2 1 0). Поділивши цю рядок на 3, отримаєте (0 1 2 -2 / 3 1 / 3 0). Запишіть ці значення в новій матриці у другий рядок.
  3. Метою цих операцій є отримання «0» на перетині другого рядка і першого стовпця. Таким же чином слід отримати «0» на перетині третин рядка і першого стовпця, але там уже «0», тому переходьте до наступного етапу.

    Необхідно зробити «0» на перетині третин рядка та другого стовпця. Для цього розділіть другий рядок матриці на «2», а потім віднімете отримане значення з елементів третин рядка. Отримане значення має вид (0 1 2 -2 / 3 1 / 3 0) — це нова другий рядок.
  4. Тепер слід відняти другий рядок з третьої, а отримані значення розділити на «2». У результаті у вас повинна вийти такий рядок: (0 0 1 1 / 3 -1 / 6 1). У результаті проведених перетворень, проміжна матриця буде мати вигляд (см.ріс.2).

    Наступний етап — перетворення «2», що знаходиться на перетині другого рядка і третього стовпця, в «0». Для цього помножте третій рядок на «2», а отримані значення віднімайте з другого рядка. В результаті нова другий рядок буде містити такі елементи:

    (0 1 0 -4 / 3 2 / 3 -1).
  5. Тепер помножте третій рядок на «3» і додайте отримані значення до елементів першого рядка. У результаті отримаєте нову перший рядок (1 0 0 2 -1 / 2 3 / 2). При цьому бажана зворотна матриця знаходиться на місці розширення справа (рис.3).