Як знайти медіану прямокутного трикутника

Як знайти медіану прямокутного трикутника

Визначення медіани прямокутного трикутника — це одна з базових задач в геометрії. Часто її знаходження виступає в ролі допоміжного елемента в рішення будь-якої більш складної задачі. Залежно від наявних даних, поставлену задачу можна вирішити кількома способами.

Вам знадобиться

підручник з геометрії.

Інструкція

  1. Варто нагадати, що трикутник є прямокутним, якщо один і його кутів дорівнює 90 градусів. А медіана — це відрізок опущений з кута трикутника на протилежних сторін. Причому він ділить її на дві рівні частини.

    У прямокутному трикутнику ABC, у якого кут АВС є прямим, медіана BD, опушена з вершини прямого кута, дорівнює половині гіпотенузи AC. Тобто, для того, щоб знайти медіану, поділіть значення гіпотенузи на два: BD = AC / 2.

    Приклад: Нехай у прямокутному трикутнику АВС (АВС-прямий кут), відомі значення катетів AB = 3 см., BC = 4 см., знайдіть довжину медіани ВD, опущеної з вершини прямого кута.

    Рішення:

    1) Знайдіть значення гіпотенузи. За теоремою Піфагора AC ^ 2 = AB ^ 2 + BC ^ 2. Отже AC = (AB ^ 2 + BC ^ 2) ^ 0,5 = (3 ^ 2 +4 ^ 2) ^ 0,5 = 25 ^ 0,5 = 5 см

    2) Знайдіть довжину медіани за формулою: BD = AC / 2. Тоді BD = 5 см.
  2. Зовсім інша ситуація виникає при знаходження медіани, опущеною на катети прямокутного трикутника. Нехай у трикутника АВС, кут У прямій, а АЕ і СF медіани опущені на відповідні катети ВС і АВ. Тут довжина цих відрізків знаходиться за формулами:

    АЕ = (2 (АВ ^ 2 + AC ^ 2)-BC ^ 2) ^ 0,5 / 2

    СF = (2 (BC ^ 2 + AC ^ 2)-AB ^ 2) ^ 0,5 / 2

    Приклад: У трикутника АВС, кут АВС є прямим. Довжина катета АВ = 8 см, кут BCA = 30 градусів. Знайдіть довжини медіан, опущених з гострих кутів.

    Рішення:

    1) Знайдіть довжину гіпотенузи АС, її можна отримати із співвідношення sin (BCA) = AB / AC. Звідси AC = AB / sin (BCA). AC = 8/sin (30) = 8 / 0, 5 = 16 см.

    2) Знайдіть довжину катета АС. Найпростіше її можна знайти по теоремі Піфагора: AC = (AB ^ 2 + BC ^ 2) ^ 0,5, AC = (8 ^ 2 +16 ^ 2) ^ 0,5 = (64 +256) ^ 0,5 = (1024) ^ 0,5 = 32 см.

    3) Знайдіть медіани по вище наведеним формулам

    АЕ = (2 (АВ ^ 2 + AC ^ 2)-BC ^ 2) ^ 0,5 / 2 = (2 (8 ^ 2 +32 ^ 2) -16 ^ 2) ^ 0,5 / 2 = (2 (64 +1024) -256) ^ 0,5 / 2 = 21,91 см.

    СF = (2 (BC ^ 2 + AC ^ 2)-AB ^ 2) ^ 0,5 / 2 = (2 (16 ^ 2 +32 ^ 2) -8 ^ 2) ^ 0,5 / 2 = (2 (256 +1024) -64) ^ 0,5 / 2 = 24,97 см.

Зверніть увагу

Медіана завжди розбиває трикутник на два інших трикутника, рівних за площею.

Точка перетину всіх трьох медиан називається центром ваги.

Корисні поради

Дуже часто значення катетів і гіпотенуз найпростіше знайти за тригонометричним формулами.