Як знайти медіану рівнобедреного трикутника

Як знайти медіану рівнобедреного трикутника

Трикутник називається рівнобедреним, якщо у нього є дві рівні сторони. Вони називаються бічними. Третя сторона називається підставою рівнобедреного трикутника. Такий трикутник має ряд специфічних властивостей. Медіани, проведені до бічних сторін, рівні. Таким чином у рівнобедреному трикутнику дві різні медіани, одна проведена до основи трикутника, друга — до бічної сторони.

Інструкція

  1. Нехай дано трикутник ABC, що є рівнобедреним. Відомі довжини його бічної сторони і підстави. Треба знайти медіану, опущену на підставу цього трикутника. У рівнобедреному трикутнику ця медіана є одночасно медіаною, бісектрисою і висотою. Завдяки цій властивості, знайти медіану до основи трикутника дуже просто. Скористайтеся теоремою Піфагора для прямокутного трикутника ABD: AB ² = BD ² + AD ², де BD — шукана медіана, AB — бічна сторона (для зручності нехай вона дорівнює a), а AD — половина підстави (для зручності візьміть підставу рівним b). Тоді BD ² = a ² — b ² / 4. Знайдіть корінь з цього виразу і отримаєте довжину медіани.
  2. Трохи складніше йдуть справи з медіаною, проведеної до бічної сторони. Для початку покажіть обидві таких медіани на малюнку. Ці медіани рівні. Позначте бічну сторону буквою a, а підстава — b. Позначте рівні кути при основі α. Кожна з медіан ділить бічну сторону на дві рівні частини a / 2. Позначте довжину шуканої медіани x.
  3. За теоремою косинусів можна виразити будь-яку сторону трикутника через дві інші і косинус кута між ними. Запишемо теорему косинусів для трикутника AEC: AE ² = AC ² + CE ² — 2AC · CE · cos ∠ ACE. Або, що те ж, (3x) ² = (a / 2) ² + b ² — 2 · ab / 2 · cosα = a ² / 4 + b ² — ab · cosα. За умовами завдання боку відомі, а от кут при основі немає, тому обчислення тривають.
  4. Тепер застосуйте теорему косинусів до трикутника ABC, щоб знайти кут при основі: AB ² = AC ² + BC ² — 2AC · BC · cos ∠ ACB. Іншими словами, a ² = a ² + b ² — 2ab · cosα. Тоді cosα = b / (2a). Підставте цей вираз в попереднє: x ² = a ² / 4 + b ² — ab · cosα = a ² / 4 + b ² — ab · b / (2a) = a ² / 4 + b ² — b ² / 2 = (a ² +2 b ²) / 4. Обчисливши корінь правої частини виразу, ви знайдете медіану, проведену до бічної сторони.