Як знайти направляючі косинуси вектора

Як знайти направляючі косинуси вектора

Позначте через альфа, бета і гамма кути, утворені вектором а з позитивним напрямком координатних осей (див. рис.1). Косинуси цих кутів називаються напрямними косинусами вектора а.

Вам знадобиться

- Папір;
- Ручка.

Інструкція

  1. Так як координати а в декартовій прямокутній системі координат дорівнюють проекціям вектора на координатні осі, то

    а1 = | a | cos (альфа), a2 = | a | cos (бета), a3 = | a | cos (гамма). Звідси:

    cos (альфа) = a1 | | a |, cos (бета) = a2 | | a |, cos (гамма) = a3 / | a |.

     При цьому | a | = sqrt (a1 ^ 2 + a2 ^ 2 + a3 ^ 2). Значить

    cos (альфа) = a1 | sqrt (a1 ^ 2 + a2 ^ 2 + a3 ^ 2), cos (бета) = a2 | sqrt (a1 ^ 2 + a2 ^ 2 + a3 ^ 2),

    cos (гамма) = a3/sqrt (a1 ^ 2 + a2 ^ 2 + a3 ^ 2).
  2. Слід зазначити основна властивість напрямних косинусів. Сума квадратів напрямних косинусів вектора дорівнює одиниці.

    Дійсно, cos ^ 2 (альфа) + cos ^ 2 (бета) + cos ^ 2 (гамма) =

    = A1 ^ 2 | (a1 ^ 2 + a2 ^ 2 + a3 ^ 2) + a2 ^ 2 | (a1 ^ 2 + a2 ^ 2 + a3 ^ 2) + a3 ^ 2 / (a1 ^ 2 + a2 ^ 2 + a3 ^ 2) =

    = (A1 ^ 2 + a2 ^ 2 + a3 ^ 2) | (a1 ^ 2 + a2 ^ 2 + a3 ^ 2) = 1.
  3. Перший спосіб

    Приклад: дано: вектор а = {1, 3, 5). Знайти його напрямні косинуси.

    Рішення. Відповідно до знайденим випишемо:

     | А | = sqrt (ax ^ 2 + ay ^ 2 + az ^ 2) = sqrt (1 +9 +25) = sqrt (35) = 5,91.

    Таким чином, відповідь можна записати в такій формі:

    {Cos (альфа), cos (бета), cos (гамма)} = {1/sqrt (35), 3/sqrt (35), 5 / (35)} = {0,16; 0,5; 0, 84}.
  4. Другий спосіб

    При знаходженні напрямних косинусів вектора а, можна використовувати методику визначення косинусів кутів за допомогою скалярного твори. У даному випадку на увазі маються кути між а і направляючими одиничними векторами прямокутних декартових координат i, j і k. Їх координати {1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}, відповідно.

    Слід нагадати, що скалярний добуток векторів визначається так.

    Якщо кут між векторами ф, то скалярний добуток двох вітрів (за визначенням) — це число, рівне добутку модулів векторів на cosф. (A, b) = | a | | b | cos ф. Тоді, якщо b = i, то (a, i) = | a | | i | cos (альфа),

    або a1 = | a | cos (альфа). Далі всі дії виконуються аналогічно способу 1, з урахуванням координат j і k.