Як знайти найменше значення функції на відрізку

Як знайти найменше значення функції на відрізку

До знаходженню найменшого значення функції на відрізку зводяться багато завдань математики, економіки, фізики та інших наук. Це питання завжди має рішення, тому що по доведеною теоремою Вейєрштрасса безперервна на відрізку функція приймає на ньому найбільше і найменше значення.

Інструкція

  1. Знайдіть всі критичні точки функції ƒ (x), що потрапляють в досліджуваний інтервал (a; b). Для цього знайдіть похідну ƒ ‘(x) функції ƒ (x). Виберіть ті точки з проміжку (a; b), в яких ця похідна не існує або дорівнює нулю, тобто знайдіть область визначення функції ƒ ‘(x) і вирішите рівняння ƒ’ (x) = 0 в інтервалі (a; b). Нехай це будуть точки x1, x2, x3, …, xn.
  2. Обчисліть значення функції ƒ (x) у всіх її критичних точках, що належать інтервалу (a; b). Виберіть зі всіх цих значень ƒ (x1), ƒ (x2), ƒ (x3), …, ƒ (xn) саме найменше. Нехай це найменше значення досягається в точці xk, тобто ƒ (xk) ≤ ƒ (x1), ƒ (xk) ≤ ƒ (x2), ƒ (xk) ≤ ƒ (x3), …, ƒ (xk) ≤ ƒ ( xn).
  3. Підрахуйте значення функції ƒ (x) на кінцях відрізка [a; b], тобто обчисліть ƒ (a) і ƒ (b). Порівняйте ці значення ƒ (a) і ƒ (b) з найменшим значенням в критичних точках ƒ (xk) і виберіть з цих трьох чисел саме найменше. Воно і буде найменшим значенням функції на відрізку [a; b].
  4. Зверніть увагу, якщо функція не має на проміжку (a; b) критичних точок, то значить в даному інтервалі функція зростає або убуває, а мінімальне і максимальне значення досягає на кінцях відрізка [a; b].
  5. Розгляньте приклад. Нехай задача полягає в знаходженні мінімального значення функції ƒ (x) = 2 × x ³ -6 × x ² +1 на відрізку [-1; 1]. Знайдіть похідну функції ƒ ‘(x) = (2 × x ³ -6 × x ² +1)’ = (2 × x ³)’-( 6 × x ²) ‘= 6 × x ² -12 × x = 6 × x × (x -2). Похідна ƒ ‘(x) визначена на всій числовій прямій. Розв’яжіть рівняння ƒ ‘(x) = 0.

    У цьому випадку таке рівняння рівносильне системі рівнянь 6 × x = 0 і x-2 = 0. Рішеннями будуть дві точки x = 0 і x = 2. Однак x = 2 ∉ (-1; 1), тому критична точка в цьому проміжку одна: x = 0. Знайдіть значення функції ƒ (x) в критичній точці і на кінцях відрізка. ƒ (0) = 2 × 0 ³ -6 × 0 ² +1 = 1, ƒ (-1) = 2 × (-1) ³ -6 × (-1) ² +1 =- 7, ƒ (1) = 2 × 1 ³ -6 × 1 ² +1 =- 3. Так як -7 <1 і -7 <-3, то функція ƒ (x) приймає мінімальне значення в точці x =- 1 і воно дорівнює ƒ (-1) =- 7.

Корисні поради

Якщо за умовою задачі потрібно знайти мінімальне значення не на відрізку, а на напіввідкритому чи відкритому інтервалі (a; b), то на кінцях інтервалу обчислюють односторонній межа функції при значенні аргументу прагне до a +0 і b-0.