Як знайти найменший позитивний період функції

Як знайти найменший позитивний період функції

Найменший позитивний період функції в тригонометрії позначається f. Він характеризується найменшим значенням позитивного числа T, тобто менше його значення T вже не буде періодом функції.

Вам знадобиться

- Математичний довідник.

Інструкція

  1. Зверніть увагу на те, що періодична функція не завжди має найменший позитивний період. Так, наприклад, як періоду постійної функції може бути абсолютно будь-яке число, а значить, у неї може й не бути найменшого позитивного періоду. Зустрічаються також і непостійні періодичні функції, у яких немає найменшого позитивного періоду. Однак у більшості випадків найменший позитивний період у періодичних функцій все ж є.
  2. Найменший період синуса дорівнює 2π. Розгляньте доказ цього на прикладі функції y = sin (x). Нехай T буде довільним періодом синуса, в такому випадку sin (a + T) = sin (a) при будь-якому значенні a. Якщо a = π / 2, виходить, що sin (T + π / 2) = sin (π / 2) = 1. Однак sin (x) = 1 лише в тому випадку, коли x = π / 2 +2 πn, де n представляє собою ціле число. Звідси випливає, що T = 2πn, а значить, найменшим позитивним значенням 2πn є 2π.
  3. Найменший позитивний період косинуса теж дорівнює 2π. Розгляньте доказ цього на прикладі функції y = cos (x). Якщо T буде довільним періодом косинуса, то cos (a + T) = cos (a). У тому випадку якщо a = 0, cos (T) = cos (0) = 1. Зважаючи на це, найменшим позитивним значенням T, при якому cos (x) = 1, є 2π.
  4. Враховуючи той факт, що 2π — період синуса і косинуса, це ж значення буде і періодом котангенс, а також тангенса, проте не мінімальним, оскільки, як відомо, найменший позитивний період тангенса і котангенс дорівнює π. Переконатися в цьому зможете, розглянувши такий приклад: точки, відповідні числах (х) і (х + π) на тригонометричної кола, мають діаметрально протилежне розташування. Відстань від точки (х) до точки (х +2 π) відповідає половині кола. За визначенням тангенса і котангенс tg (x + π) = tgx, а ctg (x + π) = ctgx, а значить, найменший позитивний період котангенс і тангенса дорівнює π.

Зверніть увагу

Не плутайте функції y = cos (x) і y = sin (x) — маючи однаковий період, ці функції зображуються по-різному.

Корисні поради

Для більшої наочності зобразите тригонометричну функцію, у якої розраховується найменший позитивний період.