Як знайти невизначені інтеграли

Як знайти невизначені інтеграли

Інтегрування і диференціювання — основи математичного аналізу. У інтегруванні, в свою чергу, головну роль відіграють поняття визначеного та невизначеного інтеграла. Знання, що таке невизначений інтеграл, і вміння правильно його знаходити необхідні кожному, хто вивчає вищу математику.

Інструкція

  1. Поняття невизначеного інтеграла виводиться з поняття первісної функції. Функція F (x) називається первісною для функції f (x), якщо на всій області її визначення F ‘(x) = f (x).
  2. У будь-якої функції з одним аргументом може бути не більше однієї похідної. Однак з первісних це не так. Якщо функція F (x) є первісною для f (x), то функція F (x) + C, де C — будь-яка ненульова константа, теж буде для неї первісної.
  3. Дійсно, за правилом диференціювання (F (x) + C) ‘= F’ (x) + C ‘= f (x) + 0 = f (x). Таким чином, будь-яка первообразная для f (x) виглядає як F (x) + C. Цей вираз називається невизначеним інтегралом функції f (x) і позначається ∫ f (x) dx.
  4. Якщо функція виражається через елементарні функції, то її похідна теж завжди виражається через елементарні функції. Однак для первісних це також неправильно. Цілий ряд простих функцій, таких як sin (x ^ 2), мають невизначені інтеграли, не виражаються через елементарні функції. Інтегрувати їх можна тільки приблизно, чисельними методами, однак такі функції відіграють важливу роль в деяких областях математичного аналізу.
  5. Найпростіші формули для невизначених інтегралів виводяться з правил диференціювання. Наприклад, ∫ (x ^ 2) dx = (x ^ 3) / 3, оскільки (x ^ 3) ‘= 3x ^ 2. Взагалі, для будь-якого n ≠ -1 вірно, що ∫ (x ^ n) dx = (x ^ (n +1)) / (n +1).

    При n = -1 цей вислів втрачає сенс, однак функція f (x) = 1 / x, тим не менше, інтегровна. ∫ (1 / x) dx = ∫ dx / x = ln | x | + C. Зверніть увагу, що функція ln | x |, на відміну від функції ln (x), визначена на всій дійсній осі, за винятком нуля, точно так само, як і функція 1 / x.
  6. Якщо функції f (x) і g (x) інтегруються, то їх сума також інтегрована, і ∫ (f (x) + g (x) dx = ∫ f (x) dx + ∫ g (x) dx. Якщо функція f (x) інтегрована, то ∫ af (x) dx = a ∫ f (x) dx. Ці правила можна комбінувати.

    Наприклад, ∫ (x ^ 2 + 2x + 1) dx = (x ^ 3) / 3 + x ^ 2 + x + C.
  7. Якщо ∫ f (x) dx = F (x), то ∫ f (x + a) dx = F (x + a) + C. Це називається підведенням під знак диференціала постійного доданка. Під знак диференціала можна підвести і постійний множник: ∫ f (ax) dx = F (ax) / a + C. Комбінуючи ці два прийоми, отримаємо: ∫ f (ax + b) dx = F (ax + b) / a + C. Наприклад, якщо f (x) = sin (2x + 3), то ∫ f (x) dx =-cos (2x + 3) / 2 + C.
  8. Якщо інтегруються функцію можна представити у вигляді f (g (x)) * g ‘(x), наприклад, sin ^ 2 (x) * 2x, то ця функція інтегрується методом заміни змінної: ∫ f (g (x)) * g ‘(x) dx = ∫ f (g (x)) dg (x) = F (g (x)) + C. Ця формула виводиться з формули похідної складної функції: f (g (x)) ‘= f’ (g (x)) * g ‘(x).
  9. Якщо інтегруються функцію можна представити у вигляді u (x) * v ‘(x), то ∫ u (x) * v’ (x) dx = uv — ∫ v (x) * u ‘(x) dx. Це метод інтегрування по частинах. Він використовується, коли похідна від u (x) набагато простіше, ніж від v (x).

    Наприклад, нехай f (x) = x * sin (x). Тут u (x) = x, v ‘(x) = sin (x), отже, v (x) =-cos (x), а u’ (x) = 1. Тоді ∫ f (x) dx =-x * cos (x) — ∫ (-cos (x)) dx = sin (x) — x * cos (x) + C.