Як знайти нормаль площині

Як знайти нормаль площині

Нормаль площині n (вектор нормалі до площини) — це будь-який спрямований перпендикуляр до неї (ортогональний вектор). Подальші викладки по визначенні нормалі залежать від способу завдання площині.

Інструкція

  1. Якщо задано загальне рівняння площини — AX + BY + CZ + D = 0 або його форма A (x-x0) + B (y-y0) + C (z-z0) = 0, то можна відразу записати відповідь — n (А , В, С). Справа в тому, що це рівняння було отримано, як завдання визначення рівняння площини по нормалі і точці.
  2. Для отримання загальної відповіді, вам знадобиться векторний добуток векторів через те, що останнє завжди перпендикулярно вихідним векторах. Отже, векторним добутком векторів, є певний вектор, модуль якого дорівнює добутку модуля першого (а) на модуль другого (b) і на синус кута між ними. При цьому цей вектор (позначте його через n) ортогонален a і b — це головне. Трійка цих векторів права, тобто з кінця n найкоротший поворот від a до b відбувається проти годинникової стрілки.

    [A, b] — одне із загальноприйнятих позначень векторного твори. Для обчислення векторного добутку в координатній формі, використовується вектор-визначник (див. рис.1)
  3. Для того щоб не плутатися зі знаком «-», перепишіть результат у вигляді: n = {nx, ny, nz} = i (aybz-azby) + j (azbx-axbz) + k (axby-aybx), і в координатах : {nx, ny, nz} = {(aybz-azby), (azbx-axbz), (axby-aybx)}.

    Більше того, щоб не плутатися з чисельними прикладами випишете всі отримані значення окремо: nx = aybz-azby, ny = azbx-axbz, nz = axby-aybx.
  4. Поверніться до вирішення поставленого завдання. Площина можна задати різними способами. Нехай нормаль до площини визначається двома неколінеарних векторами, причому відразу чисельно.

    Нехай дані вектори a (2, 4, 5) і b (3, 2, 6). Нормаль до площини збігається з їх векторним твором і, як тільки що було з’ясовано дорівнюватиме n (nx, ny, nz),

    nx = aybz-azby, ny = azbx-axbz, nz = axby-aybx. В даному випадку ax = 2, ay = 4, az = 5, bx = 3, by = 2, bz = 6. Таким чином,

    nx = 24-10 = 14, ny = 12-15 =- 3, nz = 4-8 =- 4. Нормаль знайдена — n (14, -3, -4). При цьому вона є нормаллю до цілого сімейства площин.