Нормальним вектором площини (або нормаллю площини) називають вектор, перпендикулярний цій площині. Одним із способів задати площину є вказівка координат її нормалі і точки, що лежить на площині. Якщо площину задана рівнянням Ax + By + Cz + D = 0, то нормальним до неї є вектор з координатами (A; B; C). В інших випадках для обчислення нормального вектора доведеться потрудитися.
Інструкція
- Нехай площину задана трьома належними їй точками K (xk; yk; zk), M (xm; ym; zm), P (xp; yp; zp). Щоб знайти нормальний вектор, складемо рівняння цієї площини. Позначте довільну точку, що лежить на площині, буквою L, хай у неї будуть координати (x; y; z). Тепер розгляньте три вектори PK, PM і PL, вони лежать на одній площині (компланарними), тому їх змішане твір дорівнює нулю.
- Знайдіть координати векторів PK, PM і PL:
PK = (xk-xp; yk-yp; zk-zp)
PM = (xm-xp; ym-yp; zm-zp)
PL = (x-xp; y-yp; z-zp)
Змішане твір цих векторів дорівнюватиме визначник, представленому на малюнку. Цей визначник слід вирахувати, щоб знайти рівняння для площині. Обчислення змішаного твори для конкретного випадку дивіться у прикладі. - Приклад
Нехай площину задана трьома точками K (2; 1; -2), M (0, 0; -1) і P (1, 8, 1). Потрібно знайти нормальний вектор площини.
Візьміть довільну точку L з координатами (x; y; z). Обчисліть вектори PK, PM і PL:
PK = (2-1; 1-8; -2-1) = (1; -7; -3)
PM = (0-1; 0-8; -1-1) = (-1; -8; -2)
PL = (x-1; y-8; z-1)
Складіть визначник для змішаного твори векторів (він на малюнку). - Тепер розкладете визначник по першому рядку, та був підрахуйте значення визначників розміру 2 на 2.
Таким чином рівняння площини-10x + 5y — 15z — 15 = 0 або, що те ж,-2x + y — 3z — 3 = 0. Звідси легко визначити вектор нормалі до площини: n = (-2; 1; -3).
